請問，什麼叫變分，它和泛函有什麼關係

1樓：柒月黑瞳

泛函分析是研究拓撲線性空間到拓撲線性空間之間滿足各種拓撲和代數條件的對映的分支學科。它是20世紀30年代形成的。從變分法、微分方程、積分方程、函式論以及量子物理等的研究中發展起來的，它運用幾何學、代數學的觀點和方法研究分析學的課題，可看作無限維的分析學。

變分法（calculus of variations），是處理函式的變數的數學領域，和處理數的函式的普通微積分相對。譬如，這樣的泛函可以通過未知函式的積分和它的導數來構造。變分法最終尋求的是極值函式：

它們使得泛函取得極大或極小值。有些曲線上的經典問題採用這種形式表達：一個例子是最速降線，在重力作用下一個粒子沿著該路徑可以在最短時間從點a到達不直接在它底下的一點b。

在所有從a到b的曲線中必須極小化代表下降時間的表示式。

2樓：靈光一現

簡單地說，變分就是泛函的「微分」，詳細如下：

先做個多元函式和泛函類比：

對於一個多元函式f(x1,x2,...,xn)而言，它的自變數為一個n維陣列(x1,x2,...,xn)；

而對於泛函f=f(y)而言，形象地說，它的自變數可以對應一條函式曲線y=y(x)，因為曲線上有無窮多個點，而每個點的y座標就是泛函的一個自變數，那麼曲線上無窮多個點，就對應了無窮多個自變數，而泛函f就是這無窮多個自變數的函式。

對於多元函式而言，它有全微分df=∂f/∂x1*dx1+∂f/∂x2*dx2+...+∂f/∂xn*dxn，也就是每個自變數發生微小變化時函式值的變化。

而對於泛函f而言，它的全微分就是變分，就是曲線上每個點的y座標發生微小變化時，整個泛函的函式值發生的變化。

舉個例子：

一個常見的例子就是最速下降線問題，物體在重力作用下從空間中一點a運動到另一點b時，可以經過無窮多個軌跡，而每條軌跡對應不同的運動時間t，那麼t就是這些軌跡的泛函。而t最小的那條軌跡變分為0，也就是說，當物體走了一條離它很近的軌跡時，所需時間t發生的變化趨近於0.