1 1 21 2 31 2n 等於多少

時間 2021-09-14 20:37:41

1樓:你愛我媽呀

1+2+3+...n=n(n+1)/2

1=1*(1+1)/2

1+2=2*(1+2)/2

1+2+3=3*(1+3)/2

1+2+3+...+n=n*(1+n)/2s=1+(1+2)+(1+2+3)+......+(1+2+3+......+n)

=1*(1+1)/2+2*(1+2)/2+3*(1+3)/2+......+n*(1+n)/2

=1/2*{(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+(1+2+3+...+n)}

=1/2*{n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2}=1/2*n(n+1)(2n+1+3)/6=n(n+1)(n+2)/6

2樓:

哥哥05年初一的時候就在沒人出題的情況下自己出了這題,然後自己解出來了,方法大致相同但沒你們那麼複雜

1=(1+1)*1/2=1*2/2

1+2=(1+2)*2/2=2*3/2

1+2+3……+n=(1+n) *n/2

1+(1+2)+(1+2+3)+……(1+2+……n)={1*2+2*3+3*4+……n*(n+1)}/2=n*(n+1)*(n+2)/3/2

=n*(n+1)*(n+2)/6

3樓:匿名使用者

原式=∑i(1+i)/2

=(1/2)[n(1+n)/2+n(n+1)(2n+1)/6]

=n(n+1)(n+2)/6.

4樓:義明智

1+2+3+...n=n(n+1)/2

1=1*(1+1)/2

1+2=2*(1+2)/2

1+2+3=3*(1+3)/2

......

1+2+3+...+n=n*(1+n)/2s=1+(1+2)+(1+2+3)+......+(1+2+3+......+n)

=1*(1+1)/2+2*(1+2)/2+3*(1+3)/2+......+n*(1+n)/2

=1/2*{(1平方+2平方+3平方+...+n平方)+(1+2+3+...+n)}

=1/2*{n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2}=1/2*n(n+1)(2n+1+3)/6=n(n+1)(n+2)/6

5樓:匿名使用者

an =1+2+...+n = (1/2)n(n+1)1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+...+n)=sn=a1+a2+...+an

=∑(i:1->n) (1/2)i(i+1)=(1/6)∑(i:1->n) [i(i+1)(i+2) -(i-1)i(i+1) ]

=(1/6)n(n+1)(n+2)

求解s=1+(1+2)+(1+2+3)+......+(1+2+3...+n)

6樓:匿名使用者

求1^2+2^2+3^2+...+n^2的值(答案n(n+1)(2n+1)/6)

方法一:利用立方差公式

n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2

3^3-2^3=2*3^2+2^2-3

4^3-3^3=2*4^2+3^2-4

......

n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加

n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

方法二:另外一個很好玩的做法

想像一個有圓圈構成的正三角形,

第一行1個圈,圈內的數字為1

第二行2個圈,圈內的數字都為2,

以此類推

第n行n個圈,圈內的數字都為n,

我們要求的平方和,就轉化為了求這個三角形所有圈內數字的和。設這個數為r

下面將這個三角形順時針旋轉60度,得到第二個三角形

再將第二個三角形順時針旋轉60度,得到第三個三角形

然後,將這三個三角形對應的圓圈內的數字相加,

我們神奇的發現所有圈內的數字都變成了2n+1

而總共有幾個圈呢,這是一個簡單的等差數列求和

1+2+……+n=n(n+1)/2

於是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)

r=n(n+1)(2n+1)/6

當然,我也可以這樣

這個式子中學生也知道的,不是到了微積分才遇到的。

證明這個式子一般都是用下面的方法:

因為(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1,分別取k=1,2,…,n寫出n個等式:

2^3-1^3=3*1^2+3*1+1

3^3-2^3=3*2^2+3*2+1

…… (n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1

把這n個等式兩邊相加,得到

(n+1)^3-1^3=3*(1^2+2^2+…+n^2)+3*(1+2+…+n)+n

即n^3+3n^2+3n=3*(1^2+2^2+…+n^2)+3n(n+1)/2+n

由此可以解得:1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

你的式子只要用n-1代入n就可以得到。

用完全類似的方法,可以求得

1^3+2^3+…+n^3

1^4+2^4+…+n^4

…… 是法三

法四數列的前n項和的公式:

1^2+2^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6.

由二數和的立方公式:

(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1

--->(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1

n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1

(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-2^2+3(n-2)+1

……………………………………

3^3-2^3=3*2^2 +3*2 +1

2^3-1^3=3*1^2 +3*1 +1

1^3=1.

以上n個等式的兩邊分別相加:

n^3=3(1^3+2^3+3^3+……+n^3)+3(1+2+3+……+n)+n*1

=3(1^2+2^2+……+n^2)+3(n+1)/2+n

--->3(1^2+2^2+……+n^2)=n^3-3n(n+1)-n

=n(n+1)(2n+1)/2

--->(1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6.

取n-1得到1^2+2^2+3^2+……+(n-1)^2=(n-1)n(2n-1)/6.

拓展:1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2你知道怎麼求嗎,(*^__^*) 嘻嘻……

7樓:嘀嗒嘀嗒

每一項都是n(n+1)/2

=1+3+6+10+……+n(n+1)/2設數列,a1=1*2/2,a2=2*3/2,…,an=n(n+1)/2,則通項為an=n(n+1)/2

故1+3+6+10+.....n(n+1)/2=∑an…①2*∑an=1x2+2x3+…+n(n+1)=1*(1+1)+2*(2+1)+…+n(n+1)

=(1^2+2^2+…+n^2)+(1+2+…+n)=n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2=n(n+1)(n+2)/3

故1+3+6+10+.....n(n+1)/2=∑an=n(n+1)(n+2)/6

8樓:匿名使用者

因為1+2+3+...+k=(1+k)k/2=(k^2+k)/2所以s=(1/2)*[(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+3+...+n)]

=n(n+1)(2n+1)/12+n(n+1)/4=[n(n+1)/12]*(2n+4)

=n(n+1)(n+2)/6

9樓:匿名使用者

如題,可以看出1只有1個,2有2個,3有3個。。。。。。n有n個。於是,套用公式

1²+2²+3²+。。。+n²=n(n+1)(2n+1)/6

∵(a+1)³-a³=3a²+3a+1(即(a+1)³=a³+3a²+3a+1)

a=1時:2³-1³=3×1²+3×1+1

a=2時:3³-2³=3×2²+3×2+1

a=3時:4³-3³=3×3²+3×3+1

a=4時:5³-4³=3×4²+3×4+1

。。。。。。

a=n時:(n+1)³-n³=3×n²+3×n+1

等式兩邊相加:

(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+。。。+n²)+3(1+2+3+。。。+n)+(1+1+1+。。。+1)

3(1²+2²+3²+。。。+n²)=(n+1)³-1-3(1+2+3+。。。+n)-(1+1+1+。。。+1)

3(1²+2²+3²+。。。+n²)=(n+1)³-1-3(1+n)×n÷2-n

6(1²+2²+3²+。。。+n²)=2(n+1)³-3n(1+n)-2(n+1)

=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]

=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]

=n(n+1)(2n+1)

∴1²+2²+。。。+n²=n(n+1)(2n+1)/6.

10樓:山西一葉帆

s=c(2,2)+c(3,2)+c(4,2)+......+c(n+1,2)

=c(3,3)+c(3,2)+c(4,2)+......+c(n+1,2)

=c(4,3)+c(4,2)+c(5,2)......+c(n+1,2)

=c(5,3)+c(5,2)+c(6,2)......+c(n+1,2)

......

=c(n+1,3)+c(n+1,2)

=c(n+2,3)

即等於n(n+1)(n+2)/6

其中c(n,m) 是組合 還利用公式c(n+1,m) =c(n,m) +c(n,m-1)

高數高手來算這個,1+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+3+...+n)這個怎麼算?

11樓:穿著校服打鞦韆

1=(1+1)1/2

1+2=(1+2)2/2

1+2+3=(1+3)3/2

1+2+3+4=(1+3)3/2

1+2+3+...+n=(1+n)n/2

題目轉化為求數列的前n項和

而(1+n)n/2=n/2+n²/2

所以s=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+...+(1+2+3+...+n)

=1/2+1²/2+2/2+2²/2+3/2+3²/2+…+n/2+n²/2

=(1+2+3+…+n)/2+(1²+2²+3²+…+n²)/2=(1+n)n/4+n(n+1)(2n+1)/12=n(n+1)(2n+4)/12

=n(n+1)(n+2)/6

滿意請採納

1N等於多少千克,1N 多少kg

1n約為0.1千克。解釋 根據牛頓第二定律公式g mg可得,g g m,代入公式的g 0.1kg。其中,g為重力,m為質量,g為重力常數 標準為9.8n kg 一般取10n kg。牛頓,簡稱牛,符號為n,是一種衡量力的大小的國際單位,以科學家艾薩克 牛頓的名字而命名。能使一千克質量的物體獲得1m s...

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叫那個不知道 1nm約等於0.102公斤力。在物理學裡,作用力使物體繞著轉動軸或支點轉動的趨向,稱為力矩 torque 轉動力矩又稱為轉矩。力矩能夠使物體改變其旋轉運動。推擠或拖拉涉及到作用力 而扭轉則涉及到力矩。如圖右,力矩 等於徑向向量 與作用力 的叉積。簡略地說,力矩是一種施加於好像螺栓或飛輪...

請問 a b 的n次方等於多少??求公式

吳濤酈宕 解 當n為奇數時 a n b n a b a n 1 a n 2 b a n 3 b 2 a 2 b n 3 a b n 2 b n 1 當n為偶數時 沒有固定的公式 汲銳貫紫雪 a 1,b 2,n 2時,a n b n 1 2 2 2 5,a 2 b 2 1 2 2 2 3,a 2,b ...