張家口2023年數學第二次模擬試卷最後一題

時間 2022-06-30 02:00:11

1樓:街頭的大蛇

這題oc最大是2√5+2,最小是2√5-2,最後是16

2樓:匿名使用者

設∠oab=α,則oa=abcosα=4cosα, ob=absinα=4sinα

過點c作om的垂線,交om於點e,則易知△oab≌△eca

所以ec=oa, ea=ob, 故oe=oa+ea=4cosα+4sinα

從而 oc^2=oe^2+ec^2=(4cosα+4sinα)^2+(4cosα)^2

=16+32cosαsinα+16(cosα)^2

=16+16sin2α+8(cos2α+1)

=24+8(cos2α+2sin2α)

=24+8√5sin(2α+β), 其中sinβ=√5/5, cosβ=2√5/5

而α的取值範圍是[0,π/2],β位於區間(2kπ,2kπ+π/2)中,

所以sin(2α+β)的最大值為1(當2α+β=2kπ+π/2時),

最小值為-sinβ=-√5/5(當α=π/2時)

從而oc^2的最大值為24+8√5,最小值為16

即oc的最大值為√(24+8√5)=2(1+√5),最小值為4

所以最大值與最小值的乘積為 8(1+√5)

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