1樓：星空下的濤聲
首先你要明白：等價無窮小的的概念是含有極限、近似的思想在裡面的。就像我們一直說x趨於0，而不會說x=0，這就是說x無限接近0而永遠不是0的情況。
下面就好辦了，sinx和x是等價無窮小知道吧（基本極限），那麼sin根號6x自然和根號6x是等價無窮小，所以平方以後就和6x平方是等價無窮小。為什麼可以把左邊一項忽略呢？因為右邊有一個比他大得多的項，就是6x平方，它是x的平方項，而左邊是x的四次方項。
當x趨於0時顯然右邊比左邊大得多。
比如x取0.01吧，平方是0.0001，而四次方則是0.
00000001，加起來是0.00010001，顯然四次方項對結果影響很小，所以忽略了。再說一次，這是極限、近似的思想，隨著x越趨於0，四次方的影響越小，直到我們可以把它完全忽略掉。
另外說一句，你的那個等價無窮小並沒有到底，到底應該是我說的6x平方。
2樓：求知人
因為x→0時，（1/10000)x*4趨近於0的速率遠遠大於sin*2(√6x)趨向於零的速率。故該等價無窮小成立。比如x+x*2+x*4
當x→0時，它可以等價於x+x*2或x。具體等價於多少取決於你遇到的具體問題。但等價的本質你也可以這樣理解，當x→0時，（1/10000)x*4相對於sin*2(√6x)可以忽略。
你好好思考一下，先用一些簡單的例子想一下。
3樓：憑黎明
泰勒公式，sinx=x-x^3/6+o(x^3),把x換成根號6x，再平方即可即可，sin根號6x的平方~6x^2，x^4是x^2的高階無窮小，故這兩個無窮小量等價
4樓：從不吃海旱鴨子
求這兩個式子之比的極限，答案是1。所以他們是等價無窮小。
高等數學等價無窮小替換證明，誰能給我證明一下（要過程）？
5樓：小小綠芽聊教育
洛必達法則，[ln(1+x)]'=1/(x+1) [e^x-1]'=e^x 分母導數都是1，那不就分別變成了1/(1+x)和e^x當x→0時的極限。
lim(x->0) ( 1- cosx) /(x^2/2)=lim(x->0) 2( 1- cosx) / x^2 (0/0 分子分母分別求導)
=lim(x->0) 2sinx/(2x)=11- cosx ~ x^2/2
無窮小的性質：
1、有限個無窮小量之和仍是無窮小量。
2、有限個無窮小量之積仍是無窮小量。
3、有界函式與無窮小量之積為無窮小量。
4、特別地，常數和無窮小量的乘積也為無窮小量。
5、恆不為零的無窮小量的倒數為無窮大，無窮大的倒數為無窮小。
6樓：匿名使用者
看一下左邊三個函式的泰勒式就好了，而且高等數學書極限這一章應該有這個證明。
7樓：潕鈳取玳
所有等價無窮小基本都是因為泰勒公式！
所以，你這個等價無窮小隻是可以說一些特例，你要想知道為什麼只要將左邊式子關於零進行泰勒，那麼第一項就是右邊的式子。所以沒必要去證明，只是一個泰勒而已
8樓：得失皆緣分
用洛必達法則求極限=1
9樓：匿名使用者
用極限計算一下就知道了
高等數學，這兩個等價無窮小為什麼成立？我的高數忘得差不多了，抱歉。為啥這兩個成立 70
10樓：陳少出
直接把ⅹ=0，代進去，等式兩邊相等
11樓：木木
做不定積分的題目時，一般需要對一些常見的函式的原函式、導函式熟練掌握，這樣才能在解題時事半功倍。
高等數學中等價無窮小什麼時候才能用？
12樓：肇靜珊崇陽
高等bai數學問題，求極限中du等價無窮小替換為什麼zhi只能用於乘除dao不能用於加減，求解答版加減也是可以權的，但必須真正的等價無窮小，才能代換比如x-2sinx~(x-2x)=-x
而x-sinx不等價於x-x=0
事實上等價於
x-sinx~x³/3!
13樓：匿名使用者
lim(x/tanx)=1，此時x和tanx都是無窮小量專，故可以等價無窮小替換屬
lim(x/tanx)=∞，此時x是一個常數，而tanx是個無窮小量，不能等價替換（因為已經可以得出結論了），常數除以無窮小，所以等於無窮大
lim(x/tanx)=0，此時x為一個常數，tanx是無窮大，也不可等價替換，等於無窮小
總的來說，等價無窮小替換是計算未定式時用的，而第二種情況下不是未定式，第三種tanx不是無窮小。
高等數學中所有等價無窮小的公式
14樓：夢色十年
1、e^x-1～x (x→0)
2、 e^(x^2)-1～x^2 (x→0)3、1-cosx～1/2x^2 (x→0)4、1-cos(x^2)～1/2x^4 (x→0)5、sinx~x (x→0)
6、tanx~x (x→0)
7、arcsinx~x (x→0)
8、arctanx~x (x→0)
9、1-cosx~1/2x^2 (x→0)10、a^x-1~xlna (x→0)
11、e^x-1~x (x→0)
12、ln(1+x)~x (x→0)
13、(1+bx)^a-1~abx (x→0)14、[(1+x)^1/n]-1~1/nx (x→0)15、loga(1+x)~x/lna(x→0)擴充套件資料等價無窮小替換是計算未定型極限的常用方法，它可以使求極限問題化繁為簡，化難為易。
求極限時，使用等價無窮小的條件：
1、被代換的量，在取極限的時候極限值為0；
2、被代換的量，作為被乘或者被除的元素時可以用等價無窮小代換，但是作為加減的元素時就不可以。
在同一點上，這兩個無窮小之比的極限為1，稱這兩個無窮小是等價的。等價無窮小也是同階無窮小。從另一方面來說，等價無窮小也可以看成是泰勒公式在零點到一階的泰勒公式。
15樓：匿名使用者
▄︻┻═┳一 根據arcsinx的泰勒公式，可以輕鬆得到為同階不等價無窮小。x→0，時x→sinx ;
x→arcsinx ; x→tanx ;x→arctanx; x→ln(1+x); x→(e^x-1);
[(1+x)^n-1]→nx;(1-cosx)→x*x/2;a^x-1→xlna, ln(1+x)→x;麥克勞林公式也是，
那個符號不好寫，你課本上或者習題裡有.例1 limx→0tanx-sinxx3
給你舉幾個利用無窮小的例子
例1 limx→0tanx-sinxx3
解：原式=limx→0sinx(1-cosx)x3cosx=limx→0x·12x2x3(∵ sinx～x,1-cosx～x22)=12
此題也可用羅比塔法則做，但不能用性質④做。
∵ tanx-sinxx3=x-xx3=0，不滿足性質④的條件，否則得出錯誤結論0。
例2 limx→0e2x-31+xx+sinx2
解：原式=limx→0e2x-1-(31+x-1)x+x2=limx→02x-13xx(1+x)=53
例3 limx→0(1x2-cot2x)
解法1：原式=limx→0sin2x-x2cos2xx2sin2x
=limx→0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4
=limx→0x2(1+cosx)(1-cosx)x4 (∵ sinx～x)
=limx→0(1+cosx)(1-cosx)x2
=limx→012x2·(1+cosx)x2=1
解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x
=limx→0(tanx+x)(tanx-x)x4
=limx→02x(tanx-x)x44 (∵ tanx～x)
=limx→02(tanx-x)x3
=limx→02(sec2x-1)3x2
=23limx→0tan2xx2=23 (∵ tanx～x)
例4［3］ limx→0+tan(sinx)sin(tanx)
解：原式=limx→0+sec2(sinx)cosx2tan(sinx)cos(tanx)sec2x2sin(tanx) （用羅比塔法則）
=limx→0+sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2x·limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （分離非零極限乘積因子）
=limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （算出非零極限）
=limx→0+cos(sinx)sec2x2sin(tanx)sec2(sinx)cosx2tan(sinx) （用羅比塔法則）
=limx→0+cos(sinx)sec2xsec2(sinx)cosx·limx→0+tan(sinx)sin(tanx)
=limx→0+tan(sinx)sin(tanx)
出現迴圈，此時用羅比塔法則求不出結果。怎麼辦？用等價無窮小代換。
∵ x～sinx～tanx(x→0)
∴ 原式=limx→0+xx=1而得解。
16樓：匿名使用者
當x→0，且x≠0，則
x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx;
x~ln(1+x)~(e^x-1);
(1-cosx)~x*x/2;
[(1+x)^n-1]~nx;
loga(1+x)~x/lna;
a的x次方~xlna;
(1+x)的1/n次方~1/nx(n為正整數）；
注：^ 是乘方，~是等價於，這是我做題的時候總結出來的。
17樓：匿名使用者
利用等價無窮小來求極限是一種很方便的方法，同時等價無窮小的知識也是一元微分學的基礎知識之一。
為了用好等價無窮小，記住一些基本的等價無窮小公式是必要的。
當x→0，且x≠0，則
x--sinx--tanx--arcsinx--arctanx;
x--ln(1+x)--(e^x-1);
(1-cosx)--x*x/2;
[(1+x)^n-1]--nx;
注：^ 是乘方，-- 是等價於。
參考資料：《高等數學》
18樓：匿名使用者
（1） sinx～x（x→0） arcsinx～x（x→0）（2） tanx～x （x→0） arctanx～x （x→0）（3） ln(1+x)～x （x→0） e∧x —1～x （x→0）（4） （1+小）∧a -1 ～ax（x→0）(a≠0)1- cosx ～1／2x∧2 （x→0）
高數等價無窮小問題（能不能把函式內的函式等價成無窮小）
19樓：電燈劍客
關於等價無窮小替換的問題，不要背結論，要知道原理，尤其是做對了也要知道為什麼是對的，否則跟猜對的沒什麼區別。
對於你給的具體問題，要注意x->0+時
lim ln(tan2x)/ln(2x) = 1 + lim [ln(tan2x)-ln(2x)]/ln(2x) = 1
所以才能導致等價無窮小的替換。
當然，我認為這樣的替換沒什麼價值，證明可以替換的難度和原問題相當，只不過是便於你使用l'hospital法則而已，但這類問題根本不需要用l'hospital法則就能解決。
再把你的問題抽象一下，在某個變化趨勢(比如x->a)下，lim f(x)/g(x)=1，h(x)具有一定的連續性，那麼是否可以保證lim h(f(x))/h(g(x))=1也成立？
一般來講結論是不對的，給你個反例：
x->0時，f(x) = 1/x^4, g(x) = 1/x^4+1/x^2, h(x) = e^x
如果你一定要無窮小量而非無窮大量也可以，比如
x->0時，f(x) = x^2, g(x) = x^2+x^4, h(x) = e^
高等數學等價無窮小的問題，高等數學 等價無窮小替換問題
安克魯 可以。只是你後面的運算錯了，稍等，我給你一個 不可以的.乘除形式說的是一個函式與一個函式的乘除.ln sinx 4 x 是一整個函式.所以不可以 lim x 0 ln sinx 4 x lim x 0 ln sinx ln x 4 因為 lim x 0 ln x 4 ln4,lim x 0 ...
高等數學等價無窮小的幾個常用公式
一嘆 當x趨近於0的時候有以下幾個常用的等價無窮小的公式 1 sinx x tanx x arcsinx x arctanx x 1 cosx 1 2 x 2 secx 1 2 a x 1 x lna a x 1 x lna 3 e x 1 x ln 1 x x 4 1 bx a 1 abx 1 x...
高數的等價替換問題，高等數學 等價無窮小替換問題
夜色 擾人眠 你說的應該是x 0的情況吧。因為x 2sin1 x的極限是0，所以可以替換。同理，xsinx的極限也是0，故根號 1 xsinx 1等價於 1 2 xsinx.注意去看看那幾個重要的等價。 小尛 加減法不能替換的 因為sinx x o x 3 如果分母是o x 3 階的那麼這個三階以上...