1樓：匿名使用者
1、ƒ(x，y) = ∫(0→2x - y) e^(- t²) dt
∂ƒ/∂x = ∂(2x - y)/∂x * e^[- (2x - y)²]
= 2e^[- (2x - y)²]
2、∫∫ e^(- x² - y²) dxdy
= ∫(0→2π) ∫(0→2) e^(- r²) rdrdθ
= θ |(0，2π) * (1/2)e^(- r²) |(0，2)
= 2π * (1/2)[e⁻⁴ - 1]
= 2(1/e⁴ - 1)π
3、兩個方法：
第一個方法。運用伽瑪函式γ(n) = ∫(0→∞) xⁿ⁻¹e^(- x) dx，γ(n) = (n - 1)!
∫(0→∞) x⁷e^(- x) dx
= ∫(0→∞) x⁸⁻¹e^(- x) dx
= γ(8)
= (8 - 1)!
= 7!
第二個方法：
用分部積分法速解法，適用於x^n * e^(kx)，x^n * (lnx)^k
f ，i ：x⁷ ， e^(- x) ↘+
f' ，i(1)：7x⁶ ，- e^(- x) ↘-
f'' ，i(2)：42x⁵ ， e^(- x) ↘+
f'''，i(3)：210x⁴ ，- e^(- x) ↘-
f⁴ ，i(4)：840x³ ， e^(- x) ↘+
f⁵ ，i(5)：2520x²，- e^(- x) ↘-
f⁶ ，i(6)：5040x ， e^(- x) ↘+
f⁷ ，i(7)：5040 ，- e^(- x) ↘-
交叉相乘：
∫ x⁷e^(- x) dx
= - x⁷e^(- x) - 7x⁶e^(- x) - 42x⁵e^(- x) - 210x⁴e^(- x) - 840x³e^(- x) - 2520x²e^(- x) - 5040xe^(- x) - 5040e^(- x) + c
= - (x⁷ + 7x⁶ + 42x⁵ + 210x⁴ + 840x³ + 2520x² + 5040x + 5040)e^(- x) + c
∫(0→+∞) x⁷e^(- x) dx
= 5040 = 7!
4、z = xln(xy)
∂z/∂x = ln(xy) * ∂x/∂x + x * ∂/∂x ln(xy)
= ln(xy) + x * 1/(xy) * y
= ln(xy) + 1
5、∫(- 2→2) [xcos⁴x + √(4 - x²)] dx
= 0 + 2∫(0→2) √(4 - x²)
= 2 * (1/4)π(2)²
= 2π
2樓：匿名使用者
方法1伽馬函式gamma(t)=∫(0,∞)x^(t-1)e^(-x)dx
這裡結果為gamma (8)=7!
方法2用laplace變換
=∫(0,∞)x^7e^(-x)dx=gamma (8)/(s+1),s→0
=7！方法3
分部積分+遞推
記i(n)=∫(0,∞)x^ne^(-x)dx=n∫(0,∞)x^(n-1)e^(-x)dx=ni(n-1)
則i(n)/i(n-1)=n
並且易得i(1)=1
那麼累乘有i(n)=n!*i(1)=n!
本題結果就為i(7)=7!
方法4含參積分略
設f x 定積分 lnt 1 t dt x0 ,上限x,下限1,求f x f
阿乘 lnx 2 2 先將f 1 x 的積分進行倒數換元，之後兩式相加，積分就求出來了。 f x lnx 1 x dx x 1 x lnm 1 m dm m 1 x 先 感受一下寫成積分變數m不影響結果 lns 1 s ds s 1 x 同樣不影響 下面要用這個結果的 f 1 x lnt 1 t d...
求定積分sinx dx 下限0，上限為2派）
不加絕對值，sin是 0.2 的周期函式，定積分值為0 加了絕對值就不是周期函式了。是2 sinx dx 積分割槽間為 0,即 2cosx 0,4 你可以畫圖看看，求定積分的幾何意義就是求被積函式與x軸所圍面積的代數和。這道題答案是4，沒有絕對值的話答案是0 海底忍者 這個圖嘛，就是把sinx在x軸...
比較定積分ln 1 x ，上限是1，下限是0和定積分x上下限
西域牛仔王 因為 01 ln 1 x dx 0 1 xdx 分部積分法 ln x 1 dx xln x 1 xd ln x 1 xln x 1 x x 1 dx xln x 1 1 1 x 1 dx xln x 1 dx 1 x 1 d x 1 xln x 1 x ln x 1 c代入上下限 ln2...