什麼叫緊集,線性空間中的緊集是什麼意思

時間 2021-08-30 11:14:16

1樓:小雨手機使用者

在度量空間內,緊集還可以定義為滿足以下任一條件的集合:i)任意列有收斂子列且該子列的極限點屬於該集合(自列緊集);ii)具備bolzano-weierstrass性質;iii)完備且完全有界 ;iv)預緊集合的閉包。

緊集:緊集是拓撲空間內的一類特殊點集,它們的任何開覆蓋都有有限子覆蓋。

每一度空間x都是另一完備度量空間的稠密子空間,而且由x唯一構造出來。例如,實數直線就是有理數集的完備化,20世紀初建立嚴密的數學分析理論正是基於這一重要事實。

稠密子空間:

在度量空間中可以用距離定義點列的收斂概念:xn→x0就是指d(xn,x0)。點列稱為柯西點列,是指對任意正實數ε,都存在自然數n,使得m、n≥n時有可以證明收斂點列一定是柯西點列,反過來並不成立。

每個柯西點列都收斂的度量空間叫做完備度量空間。這類空間有許多好的性質。例如,完備度量空間中壓縮對映原理成立。

可以用它證明微分方程、積分方程以及無限線性代數方程組的一系列存在唯一性定理。

2樓:匿名使用者

緊集定義

緊集是拓撲空間內的一類特殊點集,它們的任何開覆蓋都有有限子覆蓋。在度量空間內,緊集還可以定義為滿足以下任一條件的集合:

任意列有收斂子列且該子列的極限點屬於該集合(自列緊集)

具備bolzano-weierstrass性質

完備且完全有界

性質 緊集具有以下性質:

點集是緊集的充分必要條件是它為有界閉集。

緊集在連續函式下的像仍是緊集。

豪斯多夫空間的緊子集是閉集。

實數空間的非空緊子集有最大元素和最小元素。

heine-borel定理:在rn內,一個集合是緊集當且僅當它是閉集並且有界。

定義在緊集上的連續實值函式有界且有最大值和最小值。

定義在緊集上的連續實值函式一致連續。

直觀理解

從某種意義上,緊集類似於有限集。舉最簡單的例子而言,在度量空間中,所有的有限集都有最大與最小元素。一般而言,無限集可能不存在最大或最小元素(比如r中的(0, 1)),但r中的非空緊子集都有最大和最小元素。

在很多情況下,對有限整合立的證明可以擴充套件到緊集。一個簡單的例子是對以下性質的證明:定義在緊集上的連續實值函式一致連續。

類似概念

自列緊集:每個有界序列都有收斂的子序列。

可數緊集:每個可數的開覆蓋都有一個有限的子覆蓋。

偽緊:所有的實值連續函式都是有界的。

弱可數緊緻:每個無窮子集都有極限點。

在度量空間中,以上概念均等價於緊集。

以下概念通常弱於緊集:

相對緊緻:如果一個子空間y在母空間x中的閉包是緊緻的,則稱y是相對緊緻於x。

準緊集:若空間x的子空間y中的所有序列都有一個收斂的子序列,則稱y是x中的準緊集。

區域性緊緻空間:如果空間中的每個點都有個由緊緻鄰域組成的區域性基,則稱這個空間是區域性緊緻空間。

請幫助解答:

1.拓撲空間的緊子集的閉包可以不是緊的,誰可以給出個例子

r上的 alexandroff拓撲的緊子集的閉包都為r,顯然r不是緊的,

注:正則空間的緊子集的閉包必為緊的!

2.收斂到x0,且都屬於x,如何證明與之並是緊集

證:因為收斂到x0,所以有對任意ξ>0,都存在n,對任意n>n時有|xn-x0|<ξ成立。也就是說當n大於某一存在常數n而趨向無窮大時,都有xn∈o(x0,ξ)成立,而ξ是任意大於零,則x0的任意領域都含有無窮多中的點,所以x0是∪的聚點,而其餘的點xn(n=1,2,3…)都是孤立點,此外因數列收斂的唯一性,且其任意子列都收斂於x0,故該並集中含有有且唯一的一個聚點x0,故並集為閉集。

又因為收斂數列的有界性,故此為有界閉集,為緊集!

3樓:爽朗的新人

定義 緊集是拓撲空間內的一類特殊點集,它們的任何開覆蓋都有有限子覆蓋.在度量空間內,緊集還可以定義為滿足以下任一條件的集合:

任意列有收斂子列且該子列的極限點屬於該集合(自列緊集)

具備bolzano-weierstrass性質

完備且完全有界

性質 緊集具有以下性質:

緊集必然是有界的閉集,但反之不一定成立.

緊集在連續函式下的像仍是緊集.

豪斯多夫空間的緊子集是閉集.

實數空間的非空緊子集有最大元素和最小元素.

heine-borel定理:在rn內,一個集合是緊集當且僅當它是閉集並且有界.

定義在緊集上的連續實值函式有界且有最大值和最小值.

定義在緊集上的連續實值函式一致連續.

直觀理解

從某種意義上,緊集類似於有限集.舉最簡單的例子而言,在度量空間中,所有的有限集都有最大與最小元素.一般而言,無限集可能不存在最大或最小元素(比如r中的(0,1)),但r中的非空緊子集都有最大和最小元素.

在很多情況下,對有限整合立的證明可以擴充套件到緊集.一個簡單的例子是對以下性質的證明:定義在緊集上的連續實值函式一致連續.

類似概念

自列緊集:每個有界序列都有收斂的子序列.

可數緊集:每個可數的開覆蓋都有一個有限的子覆蓋.

偽緊:所有的實值連續函式都是有界的.

弱可數緊緻:每個無窮子集都有極限點.

在度量空間中,以上概念均等價於緊集.

以下概念通常弱於緊集:

相對緊緻:如果一個子空間y在母空間x中的閉包是緊緻的,則稱y是相對緊緻於x.

準緊集:若空間x的子空間y中的所有序列都有一個收斂的子序列,則稱y是x中的準緊集.

區域性緊緻空間:如果空間中的每個點都有個由緊緻鄰域組成的區域性基,則稱這個空間是區域性緊緻空間.

線性空間中的緊集是什麼意思

4樓:

在度量bai空間內,緊集還可以du

定義為滿足zhi以下任一條件的集合:i)任意dao列有收斂子列且該子回列的極限點屬於答該集合(自列緊集);ii)具備bolzano-weierstrass性質;iii)完備且完全有界 ;iv)預緊集合的閉包。

緊集 定義 緊集是拓撲空間內的一類特殊點集,它們的任何開覆蓋都有有限子覆蓋。

緊支集是什麼意思,求詳細解釋,謝謝

5樓:遊俠

緊支集: 這個函式的支集是有有限的子集覆蓋的。

支集:一個定義在集合x上的實值函式f的支撐集,或簡稱支集,是指x的一個子集,滿足f恰好在這個子集上非0。

緊集:緊集是指拓撲空間內的一類特殊點集,它們的任何開覆蓋都有有限子覆蓋。從某種意義上,緊集類似於閉集。

擴充套件資料

一個函式被稱為是緊支撐於空間x的,如果這個函式的支撐集是x中的一個緊集。例如,若 x是實數軸,那麼所有在無窮遠處消失的函式都是緊支撐的。

事實上,這是函式必須在有界集外為0的一個特例。在好的情形下,緊支撐的函式所構成的集合,在所有在無窮遠處消失的函式構成的集合中,是稠密集的,當然在給定的具體問題中,這一點可能需要相當的工作才能驗證。

6樓:匿名使用者

我來回答一個吧,我不是搞小波的,不過在**中也用到了緊支撐函式。

用最通俗的話來講,緊支撐是這樣的:

對於函式f(x),如果自變數x在0附近的取值範圍內,f(x)能取到值;而在此之外,f(x)取值為0。

那麼這個函式f(x)就是緊支撐函式,而這個0附近的取值範圍就叫做緊支撐集。

比如:在(-1,1)之間的高斯函式。

怎麼樣?這是地球上最通俗的解釋了吧?

緊支集是什麼意思,求詳細解釋,謝謝

遊俠 緊支集 這個函式的支集是有有限的子集覆蓋的。支集 一個定義在集合x上的實值函式f的支撐集,或簡稱支集,是指x的一個子集,滿足f恰好在這個子集上非0。緊集 緊集是指拓撲空間內的一類特殊點集,它們的任何開覆蓋都有有限子覆蓋。從某種意義上,緊集類似於閉集。擴充套件資料 一個函式被稱為是緊支撐於空間x...

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