1樓：手牽手的幸福
設兩個複數(用三角形式表示)z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，則:z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]。
證:先講一下複數的三角形式的概念。在複平面c上，用向量z(a,b)來表示z=a+bi。
於是，該向量可以分成兩個在實軸，虛軸上的分向量.如果向量z與實軸的夾角為θ，這兩個分向量的模分別等於rcosθ,rsinθ(r=√a^2+b^2)。所以，複數z可以表示為z=r(cosθ+isinθ)。
這裡θ稱為複數z的輻角。
因為z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，所以
z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)
=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)
=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)]
=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
其實該定理可以推廣為一般形式。
證:用數學歸納法即可，歸納基礎就是兩個複數相乘的棣莫弗定理。
如果把棣莫弗定理和尤拉(euler)公式"e^iθ=cosθ+isinθ"(參見《泰勒公式》，嚴格的證明需要複分析)放在一起看，則可以用來理解尤拉公式的意義。
2樓：匿名使用者
複數乘方用三角表示式來解比較簡便.
複數r(cosθ+isinθ)的n次方是：
z^n=[r(cosθ+isinθ)]^n=r^n(cosnθ+isinnθ)
n∈n.
複數開方也用三角表示式來解比較簡便.
複數r(cosθ+isinθ)的n次方根是：
(n次根號r){cos[(θ+2kπ)/n]+isin[(θ+2kπ)/n]
(k=0,1,2,......). n∈n.
這兩條公式叫做棣莫弗公式
棣莫弗公式證明:
先引入尤拉公式：e^ix = cosx + isinx
將e^t，sint ， cost 分別為泰勒級數：
e^t = 1 + t + t^2/2! + t^3/3! + …… + t^n/n！+ ……
sint = t - t^3/3!+t^5/5!-t^7/7!+……-……
cost = 1 - t^2/2!+t^4/4!-t^6/6!+……-……
將t = ix 代入以上三式 ，可得尤拉公式
應用尤拉公式，（cosx＋isinx）^n = (e^ix)n
=e^inx
=cos(nx)+isin(nx)
3樓：橫槊當歌
複數相乘，模長相乘，輻角相加。
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