二重積分I1 xy1 x 2 y 2 dxdy

時間 2021-08-11 17:37:34

1樓:匿名使用者

i = ∫∫ (1 + xy)/(1 + x² + y²) dxdy,d =

{ x = rcosθ,{ y = rsinθ

- π/2 ≤ θ ≤ π/2,注意這界限,∵x ≥ 0,所以θ只能在第

三、第四象限變化

i = ∫(- π/2→π/2) dθ ∫(0→1) (1 + r²sinθcosθ)/(1 + r²) • rdr

= ∫(- π/2→π/2) dθ • ∫(0→1) [r/(1 + r²) + r³/(1 + r²) • sinθcosθ] dr

= ∫(- π/2→π/2) (1/2)ln(r² + 1) + sinθcosθ • [r²/2 - (1/2)ln(r² + 1)] |(0→1) dθ

= ∫(- π/2→π/2) (1/2)ln(2) + [1/2 - (1/2)ln(2)] • sinθcosθ dθ

= (1/2)ln(2) • (π/2 + π/2) + [1/2 - (1/2)ln(2)] • 0

= (1/2)ln(2) • π

= (π/2)ln(2)

樓上的象限根本是錯的

要是角度限制在[0,π]內,那是y ≥ 0而不是x ≥ 0,畫個圖就知道了

要x ≥ 0,x的值當然要在y軸右邊了,即第

三、第四象限才是的

對於y ≥ 0,y = √(1 - x²),θ∈[0,π]

對於x ≥ 0,x = √(1 - y²),θ∈[- π/2,π]

對於y ≤ 0,y = - √(1 - x²),θ∈[3π/2,2π]

對於x ≤ 0,x = - √(1 - y²),θ∈[π,3π/2]

[r²/2 - (1/2)ln(r² + 1)]

這步只是求∫ r³/(1 + r²) dr,你會做的吧

2樓:

你把本題分解,把分子化為1+xy,然後分開積分,有xy的那部分如果積分割槽間即關於x軸對稱又關於y軸對稱的話積分結果是0,因此,本題只是分子是一的積分,然後化成極座標形式,分母是1+r的平方,分子r在r屬於0到一,θ屬於0到2π積分,這樣的話就非常容易了,直接用二重積分法則,結果顯而易見,希望幫到你。

3樓:匿名使用者

設 x=rsint

y=rcost 0<=r<=1 0<=t<=πi=∫∫(1+xy)/(1+x^2+y^2)dxdy=∫∫(1+rsint*rcost)/(1+r^2) *r drdt=∫(0,1)∫(0,π) (1+r^2/2*sin2t)/(1+r^2) *r dt dr

=∫(0,1) [ rt/(1+r^2)+r^2/2(1+r^2)*1/2cos2t |(0,π) ] dr

=∫(0,1) πr/(1+r^2) dr=π/2∫(0,1) d(1+r^2)/(1+r^2)=π/2 ln(1+r^2)|(0,1)=π/2*ln2

二重積分∫∫max{xy,1}dxdy,其中d={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2}如何計算

4樓:匿名使用者

^將d拆分成兩個區域:

d1=,d2=

原式=∫∫(d1)xydxdy+∫∫(d2)dxdy

=∫(1/2,2)dx∫(1/x,2)xydy+2*(1/2)+∫(1/2,2)dx∫(0,1/x)dy

=∫(1/2,2)dx*(x/2)*y^2|(1/x,2)+1+∫(1/2,2)dx/x

=∫(1/2,2)(2x+1/2x)dx+1

=[x^2+(1/2)*ln|x|]|(1/2,2)+1

=4+ln2-1/4+1

=19/4+ln2

積分發展的動權力源自實際應用中的需求。實際操作中,有時候可以用粗略的方式進行估算一些未知量,但隨著科技的發展,很多時候需要知道精確的數值。要求簡單幾何形體的面積或體積,可以套用已知的公式。

比如一個長方體狀的游泳池的容積可以用長×寬×高求出。但如果游泳池是卵形、拋物型或更加不規則的形狀,就需要用積分來求出容積。物理學中,常常需要知道一個物理量(比如位移)對另一個物理量(比如力)的累積效果,這時也需要用到積分。

5樓:匿名使用者

|將baid拆分成兩個區域:

d1=,d2=

原式=∫dao∫(d1)xydxdy+∫∫(d2)dxdy=∫(1/2,2)dx∫(1/x,2)xydy+2*(1/2)+∫(1/2,2)dx∫(0,1/x)dy

=∫(1/2,2)dx*(x/2)*y^2|(1/x,2)+1+∫(1/2,2)dx/x

=∫(1/2,2)(2x+1/2x)dx+1=[x^2+(1/2)*ln|x|]|(1/2,2)+1=4+ln2-1/4+1

=19/4+ln2

計算二重積分∫∫x^2/y^2dxdy d:x=2,y=x,xy=1,要非常詳細的那種,查到有這樣的答案

6樓:匿名使用者

^d=∫bai∫(d) x^2/y^2dxdy= ∫(1,2) dx ∫(1/x,x) x^2/y^2 dy∫(1/x,x) x^2/y^2 dy =dux²﹙zhi-1/y﹚[變數y在﹙1/x,x﹚]的 值差

=x²[﹙﹙-1/x﹚-﹙-1/﹙1/x﹚﹚=dao-x+x³

7樓:書宬

還是看不懂我就沒法了

8樓:決心果

^d=∫

∫抄(d) x^2/y^2dxdy

= ∫(1,2) dx ∫(1/x,x) x^2/y^2 dy= ∫(1,2)x^2 dx ∫(1/x,x) 1/y^2 dy ( (1,2) 就是 1是下限 2 是上限)

= ∫(1,2) x^2(-1/y)(1/x,x) dx ( (1/x,x) 就是 1是下限 2 是上限

=∫(1,2) x^2(-1/x-(-x)) dx=∫(1,2) (-x+x^3) dx

=9/4

計算二重積分i=∫∫xye^(-x^2-y^2)dxdy,其中d為 x^2+y^2≤1在第一象限的區

9樓:

^^x=rcosa y=rsina xy=r^2sinacosa dxdy=rdrda

-x^2-y^2=-r^2

re[0,1] ae[0,pai/2]原式=1/2∫∫r^3sin(2a)e^(-r^2)drda=1/4∫r^3e^(-r^2)dr∫sin(2a)d(2a)∫r^3e^(-r^2)dr=1/2∫-r^2d(e^(-r^2))=1/2*e^(-r^2)*(-r^2)-1/2∫e^(-r^2)d(-r^2)

=-r^2*e^(-r^2)/2-e^(-r^2)/2+c=-e^(-r^2)(r^2+1)/2+c

∫sin(2a)d(2a)=-cos2a+c原式=1/8 * [(-(1+1)/e+1][1+1]=(1-2/e)/4

10樓:匿名使用者

^^用極座標:

=亅sinacosada亅r^3e^(-r^2)dr=(sina)^2/2|(0,pi/2)*(1/2)亅r^2e^(-r^2)dr^2

=(1/4)(-r^2e^(-r^2)-e^(-r^2))|(0,1)=(1-2/e)/4

二重積分問題 (1)計算∫∫根號下(y^2-xy) dxdy,區域d={y=x,x=0,y=1} (2)區域d={(x,y)| x^2+y^2<=1},計

11樓:南海閒俠

題不全!總體上可以看出這個二重積分用極座標求。

12樓:匿名使用者

^∫∫根號下(y^2-xy) dxdy=∫(0,1)[∫(0,y)根號下(y^2-xy) dx]dy

=∫(0,1)[∫(0,y)(-y)*y根號下(1-x/y) d(1-x/y]dy

=∫(0,1)[∫(0,y)(-y)*y根號下(1-x/y) d(1-x/y]dy

=∫(0,1)[(-y^2*2(1-x/y)^1.5/3|(0,y)dy

==∫(0,1)[-2y^2/3]dy=-2y^3/9|(0,1)=2/9

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