1樓：假面
n階方陣可進行對角化的充分必要條件是：
1.n階方陣存在n個線性無關的特徵向量
推論：如果這個n階方陣有n個不同的特徵值,那麼矩陣必然存在相似矩陣
2.如果階n方陣存在重複的特徵值,每個特徵值的線性無關的特徵向量的個數恰好等於該特徵值的重 複次數
現在從矩陣對角化的過程中,來說說這個條件是怎麼來的.
在矩陣的特徵問題中,特徵向量有一個很好的性質,即aa=λa.
假設一種特殊的情形,a有n個不同的特徵值λi,即aai=λi*ai.令矩陣p=[a1 a2 ... an]
這樣以來ap=a*[a1 a2 ... an]=[a*a1 a*a2 ... a*an]=[λ1*a1 λ2*a2 ... λn*an]=p*b,其中b是對角陣.
b＝λ1 0 0 ...
0 λ2 0 ...
0 0 0 λn
由於不同特徵值對應的特徵向量是線性無關的,那麼p是可逆矩陣,將上面等式換一種描述就是a＝p*b*p-1 ,這也就是a相似與對角陣b定義了.
在這個過程中,a要能對角化有兩點很重要：
p是怎麼構成的?p由n個線性無關的向量組成,並且向量來自a的特徵向量空間.
p要滿足可逆.什麼情況下p可逆?
矩陣可對角化的條件,其實就是在問什麼情況下p可逆?
如果a由n個不同的特徵值,1個特徵值－對應1個特徵向量,那麼就很容易找到n個線性無關的特徵向量,讓他們組成p；
但是如果a有某個λ是個重根呢?比如λ＝3,是個3重根.我們 知道對應的特徵方程(3i－a)x＝0不一定有3個線性無關的解.
如果λ＝3找不到3個線性無關的解,那麼a就不能對角化了,這是因為能讓a對角化的p矩陣不存在.
擴充套件資料：
設m為元素取自交換體k中的n階方陣，將m對角化，就是確定一個對角矩陣d及一個可逆方陣p，使m=pdp-1。設f為典範對應於m的kn的自同態，將m對角化，就是確定kn的一個基，使在該基中對應f的矩陣是對角矩陣。
對角矩陣(diagonal matrix)是一個主對角線之外的元素皆為0的矩陣。對角線上的元素可以為0或其他值。對角線上元素相等的對角矩陣稱為數量矩陣；對角線上元素全為1的對角矩陣稱為單位矩陣。
數值分析的主要分支致力於開發矩陣計算的有效演算法，這是一個幾個世紀以來的課題，是一個不斷擴大的研究領域。 矩陣分解方法簡化了理論和實際的計算。 針對特定矩陣結構（如稀疏矩陣和近角矩陣）定製的演算法在有限元方法和其他計算中加快了計算。
無限矩陣發生在行星理論和原子理論中。 無限矩陣的一個簡單例子是代表一個函式的泰勒級數的導數運算元的矩陣。
主條目：特徵值，特徵向量
旋轉矩陣（rotation matrix）是在乘以一個向量的時候有改變向量的方向但不改變大小的效果的矩陣。旋轉矩陣不包括反演，它可以把右手座標系改變成左手座標系或反之。所有旋轉加上反演形成了正交矩陣的集合。
旋轉矩陣是世界上著名的彩票專家、澳大利亞數學家底特羅夫研究的，它可以幫助您鎖定喜愛的號碼，提高中獎的機會。
首先您要先選一些號碼，然後，運用某一種旋轉矩陣，將你挑選的數字填入相應位置。如果您選擇的數字中有一些與開獎號碼一樣，您將一定會中一定獎級的獎。當然運用這種旋轉矩陣，可以最小的成本獲得最大的收益，且遠遠小於複式投注的成本。
旋轉矩陣的原理在數學上涉及到的是一種組合設計：覆蓋設計。而覆蓋設計，填裝設計，斯坦納系，t-設計都是離散數學中的組合優化問題。
它們解決的是如何組合集合中的元素以達到某種特定的要求。
2樓：木土佳日月
n階矩陣有n個特徵值，每個特徵值有無數個特徵向量，但是線性無關的特徵向量個數不超過對應特徵值的重根次數；
3樓：小小大機智
k重特徵值對應的特徵向量無關數目不可能大於k
4樓：
定理：n階矩陣a相似對角化的充要條件是a有n個線性無關的特徵向量。
推論：若n階矩陣a有n個不同的特徵值，則矩陣a可相似對角化。說的是有n個不同的特徵值就一定能相似對角化，而沒有n個不同的特徵值只是有可能相似對角化，不能確定。
當矩陣a有兩個或兩個以上相同的特徵值時，就要看無關特徵向量的個數，若有n個不同的特徵向量就能相似對角化。
5樓：安爾默寥
兩種都可以。第一種是一定能對角化，第二種要滿足幾何重數和代數重數相等的條件就可對角化。
6樓：
講的很好，不錯，一點都不亂，
7樓：蹲家比企鵝
錯在你把重根當成一個特徵值了
如何判斷矩陣是否可以相似對角化，如何判斷一個矩陣是否可以相似對角化？
假面 n級矩陣a可對角化 a的屬於不同特徵值的特徵子空間維數之和為n。實際判斷方法 1 先求特徵值，如果沒有相重的特徵值，一定可對角化 2 如果有相重的特徵值 k，其重數為k，那麼你通過解方程 ke a x 0得到的基礎解系中的解向量若也為k個，則a可對角化，若小於k，則a不可對角化。此外，實對稱矩...
實對稱矩陣要對角化的方法
神級人氏 對稱矩陣也可以用一般的由特徵向量組成的非奇異陣做對角化，只不過它有特殊的性質 對稱 因此我們就可以考慮特殊的對角化，也就是正交相似對角化。這麼做有好處 正交矩陣的逆矩陣很容易求，就是它的轉置，不像一般的可逆陣需要半天才能求出來，如果是一個1000 1000的矩陣求逆，那要很長時間才能做完，...
正交變換法與相似對角化的問題（已解決）
對實對稱矩陣的相似對角化和正交對角化所得到的對角形元素都為特徵值。只不過變換的矩陣不同，一個是初等矩陣，一個是正交矩陣。因為實對稱矩陣是一般矩陣的特例，所以一般矩陣能用的相似對角化方法。得到的結論，它肯定可以適用，只不過由於特殊的性質，多了一個相似對角化方法，即正交對角化。但是相似對角化和二次型裡的...