1樓：神級人氏
對稱矩陣也可以用一般的由特徵向量組成的非奇異陣做對角化，只不過它有特殊的性質（對稱），因此我們就可以考慮特殊的對角化，也就是正交相似對角化。這麼做有好處：正交矩陣的逆矩陣很容易求，就是它的轉置，不像一般的可逆陣需要半天才能求出來，如果是一個1000*1000的矩陣求逆，那要很長時間才能做完，但正交矩陣就太容易了，只要轉置一下就行了。
對稱矩陣：對稱矩陣（symmetric matrices）是指元素以主對角線為對稱軸對應相等的矩陣。2023年，埃米特(c.
hermite,1822-2023年)證明了別的數學家發現的一些矩陣類的特徵根的特殊性質，如現在稱為埃米特矩陣的特徵根性質等。後來，克萊伯施(a.clebsch,1831-2023年)、布克海姆(a.
buchheim)等證明了對稱矩陣的特徵根性質。泰伯(h.taber)引入矩陣的跡的概念並給出了一些有關的結論。
2樓：生命的步履
一、實對稱矩陣
實對稱矩陣是一類很重要的矩陣，它具有一些特殊的性質，特別是，它可以正交相似於一個實對角陣。
引理 22.1
設a 是一個n
階實對稱矩陣，α ,
β 是任意的n
維實向量，那麼
(aα,β)=(α,aβ) ( 22-1)
定理 22.2
實對稱矩陣的特徵值都是實數。
定理 22.3
實對稱矩陣的屬於不同特徵值的特徵向量一定正交。
二、實對稱矩陣的對角化
首先，由§ 2 0所介紹的關於特徵值與特徵向量的性質（7）可知
定理22．4 設 a
是n 階實對稱矩陣，
是a 的n 個特徵值（它們不必互不相同），那麼存在正交陣 t ，使
t at = t
at= .
定理並沒有告訴我們怎樣具體求出正交陣 t ，但是定理 22.3 保證了屬於不同特徵值的特徵向量 ( 他們一定可以取成實向量
) 一定正交，並且可以證明：對任意一個重數為 d ( ≥1) 的特徵值λ，一定可以找到屬於特徵值λ的 d 個線性無關的特徵向量，通過
gram-schmidt
正交化過程，找到
d 個屬於特徵值λ的兩兩正交的特徵向量。這樣，我們可以得到 a 的n 個兩兩正交的特徵向量，在把它們單位化，就得到了 rn 的一個標準正交基，他們仍然是
a 的n
個線性無關的特徵向量，作為列向量構成正交陣 t 。
例1 求正交陣 t ，使t at = t
at 為對角陣，其中
a小結一下，求正交陣使實對稱矩陣正交相似於對角陣的具體演算法是：
（1）求出實對稱矩陣 a
的特徵多項式
δ (λ) = |λe-a|
=( λ- λ1 )
( λ- λ2 ) ...
( λ- λn )
其中（2）對每個特徵值λ
，求出齊次線性方程組
的基礎解系,
（注意，基礎解系所含的線性無關的解向量的個數是特徵值 的代數重數
）, i=1,2......s.
（3）分別把屬於每個特徵值λ i 的
個線性無關的特徵向量標準正交化，得到 , i=1,2........s
.（4）取正交陣
t= 那麼
t at = t at
=diag()
3樓：匿名使用者
可以，不過d的對角線上的元素是a的特徵值，即是與a相似的對角矩陣
為什麼實對稱矩陣一定可以對角化
實對稱矩陣一定可以對角化，因為相似對角化的充要條件是n階方陣a有n個線性無關的特徵向量，充分條件是a有n個不同的特徵值，而n個不同的特徵值一定對應n個線性無關的特徵向量，實對稱矩陣n重特徵值對應n個線性無關的特徵向量，所以實對稱矩陣一定可以對角化。 遲暢鐸之桃 1.因為特徵向量經過施密特正交化之後不...
矩陣A合同於對角矩陣B，則A一定是實對稱矩陣嗎
假設a矩陣是一個3階的實對稱矩陣，如果我們知道a的平方是一個0矩陣那麼如何證明a矩陣是0矩陣。最笨的辦法就是將a的每個元素假設出來再進行組合得到新的矩陣。設a的元素為a1，a2，a3向量組。分別為a1 a11，a21，a31 a2 a12，a22，a32 a3 a13，a23，a33 的向量組你然後...
關於矩陣可相似對角化條件的判定的疑問
假面 n階方陣可進行對角化的充分必要條件是 1.n階方陣存在n個線性無關的特徵向量 推論 如果這個n階方陣有n個不同的特徵值,那麼矩陣必然存在相似矩陣 2.如果階n方陣存在重複的特徵值,每個特徵值的線性無關的特徵向量的個數恰好等於該特徵值的重 複次數 現在從矩陣對角化的過程中,來說說這個條件是怎麼來...