n 1維n維向量線性相關,這個是怎麼證明的?

時間 2023-01-16 06:25:10

1樓:匿名使用者

向量組α1,α2,..s 線性相關的充分必要條件是齊次線性方程組 (α1,α2,..s)x=0 有非零解。

對 n+1維n維向量, 因為 r(α1,α2,..n+1)<=n < n+1

所以齊次線性方程組 (α1,α2,..n+1)x=0 有非零解所以 α1,α2,..n+1 線性相關。

n+1個n維向量必線性相關如何證明

2樓:匿名使用者

以n+1個n維向量作為列向量構成的矩陣的秩不超過n(矩陣的秩不超過其行數和列數中小的那個)

所以 r(a)<=n

所以 a 的列向量組的秩 <=n

即 n+1個n維向量 的秩 <=n

故線性相關。

3樓:匿名使用者

一般線性代數教材中都有這個結論,但卻很少會給出證明,這是因為它只是另外一個重要定理(即向量組線性相關充要條件)的簡單推論之一,n+1個n維向量必線性相關這個結論幾乎是顯然的。這個推論的不懂或不明白,從本質上來看,在於對線性相關或線性無關這兩個基本數學概念的不理解。我在對學生講解這個結論時,首先必須要讓同學們理解為什麼要引入線性相關或線性無關的這定義,即為什麼要這樣定義,一般教材中不會明確說的。

我教學用的書本中那個小節開篇就是從高空中突然降落的這個定義,幾乎所有學生給打蒙,這需要你舉兩個簡單的二元齊次線性方程的具體例子,把線性相關(線性無關)的概念和方程的非零解(零解)聯絡起來。希望我的解答對你所有幫助。

為什麼n+1個n維向量一定線性相關

4樓:匿名使用者

把n+1個n維列向量排成一個 n×(n+1)型矩陣。

這個矩陣的秩一定是不大於n的。

所以這n+1向量組的秩不大於n,所以線性相關。

為什麼說n+1個n維向量必線性相關,怎麼理解啊?

5樓:薔祀

以n+1個n維向量作為列向量構成的矩陣的秩不超過n(矩陣的秩不超過其行數和列數中小的那個)

所以 r(a)<=n

所以 a 的列向量組的秩 <=n

即 n+1個n維向量 的秩 <=n

故線性相關。

6樓:匿名使用者

好像很多人有這個問題,我記得我在學的時候也有這個問題。我是先學習向量組的秩再學矩陣的秩的,當然學完矩陣的秩這個問題就不難回答了,因為有「矩陣的秩不超過其行數和列數中小的那個」這個結論。

當然,僅僅使用向量知識也能回答。n維規範正交向量(也就是e1,e2,…,en)可以表示所有n維向量組成的向量組,所以所有n維向量組成的向量組秩為n,所以n+1維向量(必定在所有n維向量包括中)的秩小於等於n,必然線性線性相關。

再簡單點說,個數大於維數。需要正真理解向量秩的含義!

7樓:匿名使用者

你把它轉化為方程就知道了,兩個方程解3個未知數,方程沒有唯一解,所以係數行列式必定為0,則推出向量線性相關!

8樓:網友

從方程角度理解就是n加1和n個未知量的方程組必然不是獨立方程組。從秩的角度理解就是,該矩陣的秩一定小於n+1。一般考向量除了向量本身定義之外就從這倆角度理解了。

9樓:星空

為什麼說n+1個n維向量必線性相關,怎麼理解啊?

10樓:shllow憶

化成αⅹ=矩陣形式。α是m*n矩陣,你可以把他寫成我們常見的方程組形式 ,這時候就很容易看出m是方程組的個數,n是解的個數。

當m>n時,即 向量的個數m>維數n,方程組必定有不全為0的解。所以n+1個n維向量必相關。

11樓:誒你隨意吧

第二:如果n維向量線性無關,再加一個n維向量,可以理解為:n維矩陣由含有n個方程n個未知量的的齊次方程組構成,這個方程組的有效方程(矩陣的秩)也是n(因為n維向量都線性無關),所以這個時候加入一個n維向量,會導致未知量比方程數多了一個,顯然加入這個n維向量後也不可能再增加有效方程的個數了,已經是矩陣的行數(最大了),所以這個時候方程組就有無窮多解,那就說明有無窮多的常數可以使方程成立,即向量線性相關了。

n+1個n維向量一定線性相關的證明,如果是n+1個n維行向量就證不出來了

12樓:匿名使用者

樓上說的對,你說的那個只有零解是不錯,但是你沒搞明白這個零解是誰的解,你的證法證明的是n個n+1維列向量線性無關。

13樓:匿名使用者

思維混亂了啊,你證明行向量的時候還是用的證明列向量的方法,你那種方法考察的是n個n+1維列向量是否一定相關,結果當然是不一定了。

為了適應你的思維,你可以把這題轉置後來證明,就是說n+1個n維行向量組成a=(n+1)*n的矩陣,轉置過後,該矩陣就變成n*(n+1)的矩陣,其列向量就是原先的行向量的轉置,按照你對列向量的證法,就證明了。

其實不要想那麼多,行向量,列向量都是一樣的,沒什麼區別,一個定理適合於列向量,那對於行向量也必是適合的。

怎麼判斷m個n維向量(m>n)是否線性相關?比如這樣一個由4個3維向量組成的矩陣。 50

14樓:匿名使用者

矩陣的秩=矩陣的行秩=矩陣的列秩,求行秩就用行初等變換,求列秩就用列初等變換。

n+1個n維向量必線性相關怎麼理解?

15樓:一笑而過

你的分析大體上是正確的,只是表述不嚴格而已。當我們從向量組的角度來考慮矩陣時,一定要清楚考慮的是構成矩陣的行向量組還是列向量組,一個矩陣分別看做作為行向量組和列向量組時,它們的線性相關性可能是不同的。從你的分析中就可以看出,如果m>n則行向量組線性相關,如果m

n維向量空間中的任意n+1個向量,必線性相關,這個概念,我不懂啊,請問有誰可以解釋一下我聽嗎

16樓:我喂硬漢袋鹽

n維向量空間中的任意n+1個向量,必線性相關,設想 n=3時;在三維空間內,任意給你四個向量,其最多有三個互不相關的變數,三個互不相關的變數就可以表示整個三維空間了。所以任給四個變數最少有一個是多餘的。那麼因為這幾個多餘的向量,這一組向量就線性相關了(簡稱:

什麼什麼壞了滿鍋湯)。

17樓:匿名使用者

舉個最簡單的例子:

x1+x2+x3+x4=0

2*x1+3x2=0

你說這個方程組有多少解啊,答案是無數個。

n維向量空間中的任意n+1個向量,必線性相關,就是說在這n+1個n維向量中,肯定能找到一個向量能用剩下的向量線性表示出來。

如二維向量[1,0][0,1][1,3]這就是三個二維向量:[1,3]=[1,0]+3[0,1]

18樓:匿名使用者

要在n維向量空間裡確定一個向量則要有n個基向量。所以假設n個n維向量是線性無關的,那麼在n維向量空間中就可以使用這n個向量作為基向量來表示任意的n維向量。所以n+1個向量肯定是線性相關的。

19樓:匿名使用者

n維向量空間中的任意n+1個向量構成的n行n+1列矩陣a 則 r(a)<=min(n,n+1) 所以 r(a)定小於n+1 所以 ax=0 必有 非零解 從而 線性相關。

20樓:匿名使用者

其實也就是「向量的個數大於了向量的維數」,根據定義,是肯定線性相關的。

線性代數問題證明 n維向量組a1 a2 an線性無關的充分

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為什麼說nn維向量必線性相關怎麼理解翱

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