當x1時,如何證明xlnx以及xln 1 x

時間 2021-09-01 11:19:16

1樓:實變函式學十遍

考慮y=x,y=lnx,y=ln(1+x)求導,分別為1,1/x,1/(1+x)

當x〉1時,y=x的斜率最大

當x=1時,y=x的值最大

所以x>lnx,x>ln(1+x)

補充:一個函式的極值點存在於導數為零點或不存在點y=x^3+ax^2+bx+c求導

y'=3x^2+2ax+b

這是一個二次函式,判別式為

4a^2-12b=4(a^2-3b)<0

所以原函式導數既無零點也無不存在點,沒有極值y'已經求出來,顯然函式處處可導

二次函式判別式小於零那麼就沒有零點

就相當於一元二次方程判別式小於零無解一樣

2樓:

解:(1)先證x>ln(1+x)。

設y(x)=x-ln(1+x),

則y'(x)=1-1/(1+x)。

當x>1時,y'(x)>0,即y(x)遞增,所以有y(x)>y(1)=1-ln2>0,即x-ln(1+x)>0,從而x>ln(1+x)。

(2)再證x>lnx。

由lnx的性質知:

當x>1時,ln(1+x)>lnx,

又由(1)知,x>ln(1+x),

所以x>lnx。

3樓:匿名使用者

求到數麼````

斜率(導數值)在x>1時大一些,那麼x>lnx以及x>ln(1+x)

4樓:

設函式y=x-㏑x,求導得y』=1-1/x

x>1,1-1/x>0即y= x-㏑x此時為增,當x=1是有最小值,y=1>0,得當x>1時,x-㏑x恆大於0,即x>㏑x.

設函式y=x-㏑(1+x), y』=1-1/(x+1),當x>1, y』>0, 即y= x-㏑(x+1)此時為增, 當x=1是有最小值,y=1-㏑2>0, 得當x>1時,x-㏑(x+1) 恆大於0,即x>㏑(1+x)

5樓:單樂雙雪漠

證明:此題用拉格朗日定理來證明。

在區間(x,x+1)對函式lnx運用拉格朗日定理,ln(x+1)-lnx=1/ξ(x+1-x)=1/ξx<ξ

1/(1+x)

所以當:x>0時:ln(1+x)-lnx>1/(1+x)

如何用中值定理證明x/(1+x)0?

6樓:曉龍修理

證明來:

不等自式兩邊同時除以x

∵ x大於0,不等號方向不變

∴1/(1+x)又∵ ln1=0

∴存在c∈(1,1+x)

ln(1+x)/x=【ln(1+x)-ln1】/x=1/c∵ c∈(1,1+x)

∴1/(1+x)<1/c<1得證

證明數列極限的方法:

設一元實函式f(x)在點x0的某去心鄰域內有定義。如果函式f(x)有下列情形之一:

1、函式f(x)在點x0的左右極限都存在但不相等,即f(x0+)≠f(x0-)。

2、函式f(x)在點x0的左右極限中至少有一個不存在。

3、函式f(x)在點x0的左右極限都存在且相等,但不等於f(x0)或者f(x)在點x0無定義。

則函式f(x)在點x0為不連續,而點x0稱為函式f(x)的間斷點。

7樓:所示無恆

不等bai式兩邊同除以x,因為x大於

du0,不等號方向不變

zhi;即

1/(1+x)又

daoln1=0;觀察中間發現,

版這個剛好是拉格朗日中權值定理的形式

即存在c∈(1,1+x),使得

ln(1+x)/x=【ln(1+x)-ln1】/x=1/c;

因為c∈(1,1+x);

所以1/(1+x)<1/c<1得證。

8樓:磨墨舞文

ls各位沒用到中bai值定理du= =

不等式兩邊同除以x,因為x大於0,不zhi等號方dao向不變;即內1/(1+x)發現,這容個剛好是拉格朗日中值定理的形式即存在c∈(1,1+x),使得

ln(1+x)/x=【ln(1+x)-ln1】/x=1/c;

因為c∈(1,1+x);

所以1/(1+x)<1/c<1得證

9樓:匿名使用者

f(x)=x/(1+x)

g(x)=ln(1+x)

h(x)=x

f(0)=g(0)=h(0)

f'

故而得證:f

所以x/(1+x)

10樓:匿名使用者

令g(x)=ln(1+x)

由於g(x)= ln(1+x)-ln(1+0)=1/(1+c)(1+x-1)= x/(1+c)其中 0

所以 x/(1+x)

11樓:匿名使用者

f(x)=ln(x)

ln(1+k)-ln(1)/k =1/c

在這裡1

1

k/(1+k)

得x/(1+x)

證明:當x>0時,有不等式(1+x)ln(1+x)>arctanx

12樓:我是一個麻瓜啊

證明bai過程如下:

令f(dux)

zhi=(1+x)ln(1+x)dao-arctanx,x≥0,則f(0)=0,且在[0,+∞)上可導。

因為回f′(x)=ln(1+x)+1-1/(1+x²)=ln(1+x)+x²/(1+x²)

故當x>0時,答f′(x)>0

從而,f(x)在[0,+∞)上嚴格單調遞增故當x>0時,f(x)>f(0)=0

即:(1+x)ln(1+x)>arctanx

13樓:茭欪軋

證明:令f(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx,x≥0,則f(0)=0,且在[0,+∞)上可導.

因為f′(

x)=ln(1+x)+1-1

1+x=ln(1+x)+x

1+x,

故當專x>

屬0時,f′(x)>0,

從而,f(x)在[0,+∞)上嚴格單調遞增,故當x>0時,f(x)>f(0)=0,

即:(1+x)ln(1+x)>arctanx.

高數 試證:當x>0時, 有1/1+x

14樓:背西風酒旗

令1/x=t,則t>0,1/(1+x)化為

制bait<(1+t)in(1+t),令dug(t)=t-(1+t)in(1+t),g'(t)=-in(1+t)<0,故g(t)單減,g(t)>g(0)=0,不等式zhi成立,右dao邊可化為in(1+t)f(0)=0,故成立

15樓:匿名使用者

證明:∵來x>0

∴函式f(u)=lnu在

1)閉區源間[x,x+1]連續

bai2)開區du間(x,x+1)可導

從而,由zhi

微分dao中值定理知:

在開區間(x,x+1)內至少存在一點c使得f′(c)=[f(x+1)-f(x)]/[(x+1)-x],其中,x<c<x+1

∵f′(u)=1/u∴f′(c)=1/c

又∵x<c<x+1

∴1/(x+1)<1/c<1/x

∴1/(x+1)<[f(x+1)-f(x)]/[(x+1)-x]<1/x

即1/(x+1)<【ln(x+1)-lnx】/【(x+1)-x】<1/x

∴1/1+x

【說明】①ln(m/n)=lnm-lnn

②導數公式表中有的函式都可導

③不等號兩端的式子是:某函式求導後的結果。

④觀察兩端分母,可得區間。

用拉格朗日中值定理證明當x1時,e x ex

證 令f x e x ex 對f x 求導得 f x e x e 因為x 1 所以f x e x e e e 0故f x 在x 1上是增函式 故f x f 1 e e 1 0 即e x ex 0 e x ex 證畢。拉格朗日中值定理又稱拉氏定理,是微分學中的基本定理之一,它反映了可導函式在閉區間上的...

已知函式y f x 滿足 f 1 x f 1 x ,且當x1時,f x x2 4x 3,則當x1時,f xx2是x的平方的意思

因為x 1時f x x2 4x 3所以f x 1 x 1 2 4 x 1 3 f 1 x x 1 2 1 因為x 1,所以1 x 1 所以 x 1 時 f x x2 1 梨馥 函式y f x 滿足 f 1 x f 1 x 所以函式y f x 關於x 1對稱 當x 1時f x x2 4x 3 x 1 ...

x 1 當x 0時的左右極限為什麼是 1和

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