計算由旋轉拋物面z x平方 y平方和平面z 1所圍成的立體的

時間 2021-09-13 01:12:28

1樓:匿名使用者

立體的體積是π/2。

v=4∫【d】∫(1-x^2-y^2)dσ

=4∫【0→1】[∫(【0→√(1-y^2)】(1-x^2-y^2)dx]dy

=4∫[【(0→1】)∫【0→√(1-y^2)】[x-x^3/3-xy^2)dy]

=4∫[【(0→1】)[√(1-y^2)-(1-y^2)^(3/2)-y^2√(1-y^2)]dy

設y=sint,dy=costdt,y=0,t=0,y=1,t=π/2,

原式=4∫【0→π/2】[cost-(cost)^3-(sint)^2(cost)]costdt

=8/3∫【0→π/2】[(cost)^4dt

=(8/3)∫【0→π/2】[(1+cos2t)/2]^2dt

=(8/3)∫【0→π/2】[(1/4+cos2t+(1+cos4t)/8]dt

=(8/3)[t/4+sin2t/2+t/8+(sin4t)/32)【0→π/2】

=(8/3)[(3/8)*π/2+0+0]

=π/2

計算方法

長方體:長方體體積=長×寬×高

正方體:正方體體積=稜長×稜長×稜長

圓柱(正圓):圓柱(正圓)體積=圓周率×(底半徑×底半徑)×高

以上立體圖形的體積都可歸納為:底面積×高

圓錐(正圓):圓錐(正圓)體積=圓周率×底半徑×底半徑×高/3

角錐:錐體積=底面積×高/3

2樓:浪裡小青魚

v=4∫【d】∫(1-x^2-y^2)dσ

=4∫【0→1】[∫(【0→√(1-y^2)】(1-x^2-y^2)dx]dy

=4∫[【(0→1】)∫【0→√(1-y^2)】[x-x^3/3-xy^2)dy]

=4∫[【(0→1】)[√(1-y^2)-(1-y^2)^(3/2)-y^2√(1-y^2)]dy

設y=sint,dy=costdt,y=0,t=0,y=1,t=π/2,

原式=4∫【0→π/2】[cost-(cost)^3-(sint)^2(cost)]costdt

=8/3∫【0→π/2】[(cost)^4dt

=(8/3)∫【0→π/2】[(1+cos2t)/2]^2dt

=(8/3)∫【0→π/2】[(1/4+cos2t+(1+cos4t)/8]dt

=(8/3)[t/4+sin2t/2+t/8+(sin4t)/32)【0→π/2】

=(8/3)[(3/8)*π/2+0+0]

=π/2

擴充套件資料

稜柱體表面積:s=s側+ 2*s底

圓柱體表面積:s=u底*h + 2πr^2=2πr*h + 2πr^2

(“u底”為底面圓的周長,r為底面圓的半徑)

稜錐體表面積:s=n*s側(三角形) + s底(n為稜錐的斜稜條數,即側面數)

圓錐體表面積:s=s扇 + s底=1/2*l(母線)*2πr + πr^2

稜臺體表面積:s=n*s側(梯) + s上底 + s下底(n為稜錐的稜條數,即側面數)

圓臺體表面積:s=s側(扇環) + s上底 + s下底=π(r^2+r^2+rl+rl)=πr^2+πr^2+πrl+πrl

注:設r為上底半徑,r為下底半徑,l為圓臺母線;虛設a 為小扇形母線,則大扇形母線長為(a+l)

3樓:匿名使用者

由旋轉拋物面的性質,所圍體積等於y=x²圍繞y軸旋轉所得體積,積分割槽域x(0,1) v=∫πx²dy=

2∫πx³dx=π/2

求由旋轉拋物曲面z=x^2+y^2與平面z=1所圍成的立體的體積 詳細過程 謝謝

4樓:匿名使用者

很簡單的積

分抄,z從0到1,立體垂直於z軸的截面為圓,半徑r^2=x^2+y^2,

面積s=πr^2=π(x^2+y^2)=πz.

所以v=s(z)從0到1的積分,所以v=πz^2/2|(0,1)=π/2-0=π/2

好吧 就用旋轉拋物面...1樓正確

5樓:妙酒

由旋轉拋物面的性質,所圍體積等於y=x²圍繞y軸旋轉所得體積,積分割槽域x(0,1) v=∫πx²dy=

2∫πx³dx=π/2

求由拋物面z=x²+y²座標平面和平面x+y=1所圍立體的體積

6樓:

座標平面有3個,圍成卦限。z=x²十y²是開口向上的頂點在原點,對稱軸z的旋轉拋物面。

x十y=1在xoy平面是一直線,過點x=0,y=1,x=1,y=0在空間就是通過這個直線的豎直平面。

立體就是拋物面之下,第一卦限部分x十y=1以內部分。一個拋物頂截頂三稜柱。

7樓:不知不解無知

設t=1-x,t=1~0,

x=1-t,dx=-t,代入

=∫(1,0)[(1-t)^2t十t³/3](-dt)

求由旋轉拋物曲面z=x^2+y^2與平面z=1所圍成的立體α的質心 20

8樓:劉煜

記住公式,求解三重積分就可以了

我提供了兩種計算方法,望採納~

計算由曲面z=x^2+y^2,三個座標面及平面x+y=1所圍立體的體積,答案是1/6,要解題過程!

9樓:匿名使用者

此題有問題!z=x²+y²是將xoz平面裡的拋物線 x²=z 繞z軸旋轉而成的旋轉拋物面,用平行於xoy座標面的平面z=h去截它,其截痕都是x²+y²=h的園;該旋轉拋物面沿z軸的正向可以無限延伸;x+y=1是含xoy平面內的直線x+y=1且垂直於xoy座標面的平面;這個體積沒有上限,怎麼求?

10樓:

求由x=0 y=0 x+y=1圍成的三稜柱的體積下底為z=0 上底為z=x^2+y^2(圓錐)=∫(0,1)dx∫(0,1-x)dy∫(0,x^2+y^2)dz=∫(0,1)dx∫(0,1-x)[z](0,x^2+y^2)dy=∫(0,1)dx∫(0,1-x)[x^2+y^2]dy=∫(0,1)[x^2y+y^3/3](0,1-x)dx=∫(0,1)[x^2(1-x)+(1-x)^3/3]dx=[x^2/3-x^/2-(1-x)^4/12](0,1)=1/6

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