質數質因數和互質數有什麼區別

時間 2021-08-11 17:47:26

1樓:匿名使用者

質數、質因數和互質數這三個術語的概念極易混淆,因為它們都有“質”和“數”兩個字。正確地區分這幾個概念,對掌握數的整除性這部分基礎知識,有著極其重要的意義。

(1)質數:一個自然數,如果只有1和它本身兩個約數,這個數叫做質數(也稱素數)。

例如:1的約數有:1;

2的約數有:1,2;

3的約數有:1,3;

4的約數有:1,2,4;

6的約數有:1,2,3,6;

7的約數有:1,7;

12的約數有:1,2,3,4,6,12;

…… 從上面各數的約數個數中可以看到:一個自然數的約數個數有三種情況:

①只有一個約數的,如1。因此,1不是質數,也不是合數。

②只有兩個約數的(1和它本身),如2,3,7……

③有兩個以上約數的,如4,6,12……

屬於第②種情況的,叫做質數。屬於第③種情況的,即:除了1和本身以外,還有別的約數,這樣的數叫做合數。

(2)質因數:一般地說,一個數的因數是質數,就叫做這個數的質因數。

例如:18=2×3×3

這裡的2、3、3都是18的因數,而2和3本身又都是質數,於是我們就把2、3、3叫做18的質因數。這裡需要注意的是:18也可以寫成3與6的乘積,即:

18=3×6,無疑3和6都是18的因數,但3本身是質數,可以稱做18的質因數,而6是合數,則不能稱做18的質因數。

(3)互質數:兩個或幾個自然數,當它們的最大公約數是1的時候,這兩個或幾個數,就叫做互質數(也叫互素數)。

例如:5和7,4和11,8和9,7、11和15,12、20和35……。

上述這幾組數,它們的最大公約數都是1,因此,它們都是互質數。在以上兩個互質數中,如7、11和15這三個數,7和11是互質數,11和15是互質數,7和15也是互質數。這類情況,我們就叫做這三個數“兩兩互質”。

但12、20和35這組數中,雖然它們也是互質數,但不是兩兩互質,因為12和35是互質數,至於12和20、20和35都不是互質數。

需要注意的是:不管兩個數互質或者兩個的數以上互質,這些數本身卻不一定是質數,如5和7是互質數,它們本身都是質數;4和11是互質數,其中4並不是質數;8和9是互質數,但8和9本身都不是質數。

總之,質數是指一個數。譬如說:“2是質數,11是質數”等等。

質因數雖然也是指一個數,但是它是針對另一個數而說的。譬如說:“5是35的質因數。

”如果離開35,孤立地說:“5是質因數。”則是不妥當的。

因此,質因數具有雙重身份:第一必須是個質數;第二必須是另一個數的因數。

互質數同質數、質因數都不同,它不是指一個數,而是指除了1以外,再沒有其他公約數的兩個或兩個以上的數。

由此可見:掌握質數、質因數和互質數這幾個術語的概念,其中質數是基礎,這三者之間既有聯絡,又有區別,要透徹理解和正確區分,才能防止混淆。

8..怎樣判斷一個數是不是質數?

正確而迅速地判斷一個自然數是不是質數,在數的整除性這部分知識中,是一項重要的基本技能。

由於大於2的質數一定是奇數(奇數又不一定都是質數),所以,在判斷一個自然數是不是質數時,首先要看它是奇數還是偶數。如果是大於2的偶數,這個數肯定不是質數,而是合數;如果是奇數,那就有可能是質數。在這種情況下,一般使用以下兩種方法:

(1)查表法:

主要是指查“質數表”。編制質數表的過程是:按照自然數列,第一個數1不是質數,因此要除外,然後按順序寫出2至500的所有自然數,這些數中2是質數,把它留下,把2後面所有2的倍數劃去,2後面的3是質數,接著再把3後面所有3的倍數劃去,如此繼續下去,剩下的便是500以內的全部質數。

最早使用上述方法來尋求質數的人,是古代希臘數學家埃拉託斯特尼,由於他在開始時,先把自然數寫在一塊蠟板上,把不是質數的數(合數)分別刺上一個孔,這樣,在蠟板上就被刺上了許多象篩子一樣的孔,後來,大家就把這種尋求質數的方法叫做“篩法”。

下面是用篩法尋找出的500以內質數表:

這類的質數表還可以編製成數字範圍更大一些的,如1000以內質數表等。判斷一個自然數是不是質數,如在表所規定的數字範圍內,即可用查表的方法進行判斷。

(2)試除法:

在手頭上沒有質數表的情況下,可以用試除法來判斷一個自然數是不是質數。例如判斷143、179是不是質數,就可以按從小到大的順序用2、3、5、7、11……等質數去試除。一般情況下用20以內的2、3、5、7、11、13、17、19這8個質數去除就可以了。

如143,這個數的個位是3,排除了被2、5整除的可能性,它各位數字的和是1+4+3=8,也不可能被3整除,通過口算也證明不能被7整除,當試除到11時,商正好是13,到此就可以斷定143不是質數。

對179試除過程如下:

179÷2=59……2

179÷3=66……1

179÷5=35……4

179÷7=25……4

179÷11=16……3

179÷13=13……10

179÷17=10……9

當179÷17所得到的不完全商10比除數17小時,就不需要繼續再試除,而斷定179是質數。這是因為2、3、5、7、11、13、17都不是179的質因數,因此,179不會再有比17大的質因數,或者說179不可能被小於10的數整除,所以,179必是質數無疑。

綜上所述,用試除法判斷一個自然數a是不是質數時,只要用各個質數從小到大依次去除a,如果到某一個質數正好整除,這個a就可以斷定不是質數;如果不能整除,當不完全商又小於這個質數時,就不必再繼

9.怎樣把一個合數分解質因數?

分解質因數在數的整除性這部分知識中,既是整除、約數、質數等基礎知識的綜合運用,也是後面學習最大公約數和最小公倍數的前提和準備,所以,在數的整除中,它具有承上啟下的作用。

把一個合數分解質因數,就是把這個合數用質因數相乘的形式表示出來。或者說,把一個合數寫成幾個質數的連乘積。譬如36是合數,把36分解成因數相乘,會有以下幾種情況:

(1)36=1×36 (2)36=2×18

(3)36=4×9 (4)36=3×12

(5)36=6×6

在上面五種分解中,只有(2)式的2和(4)式的3是質數,其他都不是。要分解質因數就要把不是質數的數(1不是質數,也不是合數,排除在外),再分解成質數連乘的形式。如(3)式中的4和9都是合數,4可以分解為:

2×2; 9可以分解為: 3 × 3。這樣,把 36分解質因數,36=2×2×3×3。

事實上,除(l)式外,(2)(4)(5)式繼續分解,其最後結果也是同樣的。

把一個合數分解質因數,具體過程可採用短除法。

例如:把420分解質因數。(從最小的質因數開始)

由短除式中可以看到,420有2、2、5、3、7五個質因數,420分解質因數的結果是:420=2×2×5×3×7。

在進行分解質因數時,最後的書寫格式要特別注意,一定要把所要分解的合數寫在等號的左邊,如:24=2×2×2×3,105=3×5×7等,而不能寫在等號的右邊,如:2× 2×2×3= 24,這樣就與乘法算式相混淆,而不是分解質因數了。

10.怎樣找出一個合數所有的約數?

把一個合數所有的約數都找出來,對數目不大的合數,可以通過口算找出來,例如:9的約數有1、3、9;15的約數有1、3、5、15;21的約數有1、3、7、21等。對於數目較大的數,單純靠口算,就有可能會遺漏中間的約數。

通常可以先把這個合數分解質因數,再把各個質因數依次搭配結合,就可以找出它的所有約數。

例如:找出420的所有約數。

先把120分解質因數

420=2×2×3×5×7

(1)上面這些約數中有質數:2、3、5、7四個。

(2)由兩個質數結合成的有:

2×2=4 2×3=6

2×5=10 2×7=l4

3×5=15 3×7=21

5×7=35

有4、6、10、14、15、21、35七個。

(3)由三個質數結合成的有:

2×2×3=12 2×2×5=20

2×2×7=28 2×3×5=30

2×3×7=42 2×5×7=70

3×5×7=105

有12、20、28、30、42、70、105七個。

(4)由四個質數結合成的有:

2×2×3×5=60 2×2×3×7=84

2×2×5×7=140 2×3×5×7=210

有60、84、140、210四個。

因此,420的約數有4+7+7+4=22(個),再加上1和420本身,共24個約數。

除上述方法外,還可以先把一個合數分解質因數,然後把每個質因數的個數加1,連乘起來,所得的積就是這個合數的所有約數的個數,並且包括了1和它本身。

仍以420為例:

∴420有 24個約數。

∴360也有 24個約數。

2樓:進擊的荷爺

(1)質數:一個自然數,如果只有1和它本身兩個約數,這個數叫做質數(也稱素數)。

例如:1的約數有:1;

2的約數有:1,2;

3的約數有:1,3;

4的約數有:1,2,4;

6的約數有:1,2,3,6;

7的約數有:1,7;

12的約數有:1,2,3,4,6,12;

…… 從上面各數的約數個數中可以看到:一個自然數的約數個數有三種情況:

①只有一個約數的,如1。因此,1不是質數,也不是合數。

②只有兩個約數的(1和它本身),如2,3,7……

③有兩個以上約數的,如4,6,12……

屬於第②種情況的,叫做質數。屬於第③種情況的,即:除了1和本身以外,還有別的約數,這樣的數叫做合數。

(2)質因數:一般地說,一個數的因數是質數,就叫做這個數的質因數。

例如:18=2×3×3

這裡的2、3、3都是18的因數,而2和3本身又都是質數,於是我們就把2、3、3叫做18的質因數。這裡需要注意的是:18也可以寫成3與6的乘積,即:

18=3×6,無疑3和6都是18的因數,但3本身是質數,可以稱做18的質因數,而6是合數,則不能稱做18的質因數。

(3)互質數:兩個或幾個自然數,當它們的最大公約數是1的時候,這兩個或幾個數,就叫做互質數(也叫互素數)。

例如:5和7,4和11,8和9,7、11和15,12、20和35……。

上述這幾組數,它們的最大公約數都是1,因此,它們都是互質數。在以上兩個互質數中,如7、11和15這三個數,7和11是互質數,11和15是互質數,7和15也是互質數。這類情況,我們就叫做這三個數“兩兩互質”。

但12、20和35這組數中,雖然它們也是互質數,但不是兩兩互質,因為12和35是互質數,至於12和20、20和35都不是互質數。

需要注意的是:不管兩個數互質或者兩個的數以上互質,這些數本身卻不一定是質數,如5和7是互質數,它們本身都是質數;4和11是互質數,其中4並不是質數;8和9是互質數,但8和9本身都不是質數。

總之,質數是指一個數。譬如說:“2是質數,11是質數”等等。

質因數雖然也是指一個數,但是它是針對另一個數而說的。譬如說:“5是35的質因數。

”如果離開35,孤立地說:“5是質因數。”則是不妥當的。

因此,質因數具有雙重身份:第一必須是個質數;第二必須是另一個數的因數。

互質數同質數、質因數都不同,它不是指一個數,而是指除了1以外,再沒有其他公約數的兩個或兩個以上的數。

質數和互質數有什麼區別。舉出兩對互質數

解答 質數 一個數只有兩個因數,1和它本身。互質數 是指兩個數只有一個公因數1,如 2 3 5 7 19等等是質數 8和9 27和32,它們都是互質數。 竹葉清淺 小學數學教材對互質數是這樣定義的 公約數只有1的兩個數,叫做互質數。這裡所說的 兩個數 是指自然數。公約數只有 1 不能誤說成 沒有公約...

什麼是互質數,什麼叫互質數

定義及定理 對於兩個數來看 公因數只有1的兩個數,叫做互質數。對於對個數來看 教材定義 若干個最大公因數只有1的自然數,叫做互質數。表達及運用注意 1 這裡所說的 兩個數 是指除0外的所有自然數。2 公因數只有 1 不能誤說成 沒有公因數。3 三個或三個以上自然數互質有兩種不同的情況 一種是這些成互...

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24分解因式為 24 2 2 2 3 互質數為數學中的一種概念,即兩個或多個整數的公因數只有1的非零自然數。公因數只有1的兩個非零自然數,叫做互質數。定義及定理。1.兩個數的公因數只有1的兩個非零自然數,叫做互質數。舉例 2和3,公因數只有1,為互質數。2.多個數的若干個最大公因數只有1的正整數,叫...