函式的極限跟導數有什麼關係

1樓：淡默

導數（derivative）是微積分中的重要基礎概念。當自變數的增量趨於零時，因變數的增量與自變數的增量之商的極限。在一個函式存在導數時，稱這個函式可導或者可微分。

可導的函式一定連續。不連續的函式一定不可導。導數實質上就是一個求極限的過程，導數的四則運演算法則**於極限的四則運演算法則。

亦名紀數、微商，由速度變化問題和曲線的切線問題而抽象出來的數學概念。又稱變化率。如一輛汽車在10小時內走了600千米，它的平均速度是60千米／小時，但在實際行駛過程中，是有快慢變化的，不都是60千米／小時。

為了較好地反映汽車在行駛過程中的快慢變化情況，可以縮短時間間隔，設汽車所在位置s與時間t的關係為s＝f（t），那麼汽車在由時刻t0變到t1這段時間內的平均速度是[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]，當t1與t0很接近時，汽車行駛的快慢變化就不會很大，平均速度就能較好地反映汽車在t0到t1這段時間內的運動變化情況，自然就把極限[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]作為汽車在時刻t0的瞬時速度，這就是通常所說的速度。一般地，假設一元函式y＝f(x)在x0點的附近(x0－a，x0＋a)內有定義，當自變數的增量δx＝x－x0→0時函式增量δy＝f（x）－f（x0）與自變數增量之比的極限存在且有限，就說函式f在x0點可導，稱之為f在x0點的導數（或變化率)。若函式f在區間i的每一點都可導，便得到一個以i為定義域的新函式，記作f'，稱之為f的導函式，簡稱為導數。

函式y＝f（x）在x0點的導數f'（x0）的幾何意義：表示曲線l在p0〔x0，f（x0）〕點的切線斜率。一般地，我們得出用函式的導數來判斷函式的增減性的法則：

設y＝f(x)在（a，b）內可導。如果在（a，b）內，f'（x）>0,則f（x）在這個區間是單調增加的。。如果在（a，b）內，f'（x）<0,則f（x）在這個區間是單調減小的。

所以，當f'（x）=0時，y＝f(x)有極大值或極小值，極大值中最大者是最大值，極小值中最小者是最小值。導數的幾何意義是該函式曲線在這一點上的切線斜率。（1）求函式y=f(x)在x0處導數的步驟：

①求函式的增量δy=f(x0 δx)-f(x0) ②求平均變化率 ③取極限，得導數。（2）幾種常見函式的導數公式： ①c'=0(c為常數函式)；②(x^n)'=nx^(n-1)(n∈q)；③(sinx)'=cosx； ④(cosx)'=-sinx； ⑤(e^x)'=e^x； ⑥(a^x)'=a^xlna（ln為自然對數） ⑦(inx)'=1/x（ln為自然對數） ⑧(logax)'=(xlna)^(-1),(a>0且a不等於1) 補充一下。

上面的公式是不可以代常數進去的，只能代函式，新學導數的人往往忽略這一點，造成歧義，要多加註意。（3）導數的四則運演算法則： ①(u±v)'=u'±v' ②(uv)'=u'v uv' ③(u/v)'=(u'v-uv')/v^2 （4）複合函式的導數複合函式對自變數的導數，等於已知函式對中間變數的導數，乘以中間變數對自變數的導數--稱為鏈式法則。

導數是微積分的一個重要的支柱。牛頓及萊布尼茨對此做出了卓越的貢獻！導數的應用 1．函式的單調性 (1)利用導數的符號判斷函式的增減性利用導數的符號判斷函式的增減性，這是導數幾何意義在研究曲線變化規律時的一個應用，它充分體現了數形結合的思想．一般地，在某個區間(a，b)內，如果＞0，那麼函式y=f(x)在這個區間內單調遞增；如果＜0，那麼函式y=f(x)在這個區間內單調遞減．如果在某個區間內恆有=0，則f(x)是常函式．注意：

在某個區間內，＞0是f(x)在此區間上為增函式的充分條件，而不是必要條件，如f(x)=x3在內是增函式，但． (2)求函式單調區間的步驟 ①確定f(x)的定義域； ②求導數； ③由（或）解出相應的x的範圍．當f'(x)＞0時，f(x)在相應區間上是增函式；當f'(x)＜0時，f(x)在相應區間上是減函式． 2．函式的極值 (1)函式的極值的判定 ①如果在兩側符號相同，則不是f(x)的極值點； ②如果在附近的左側，右側，那麼，是極大值或極小值. 3．求函式極值的步驟 ①確定函式的定義域； ②求導數； ③在定義域內求出所有的駐點，即求方程及的所有實根； ④檢查在駐點左右的符號，如果左正右負，那麼f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那麼f(x)在這個根處取得極小值． 4．函式的最值 (1)如果f(x)在〔a,b〕上的最大值（或最小值）是在(a，b)內一點處取得的，顯然這個最大值（或最小值）同時是個極大值（或極小值），它是f(x)在(a，b)內所有的極大值（或極小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在〔a，b〕的端點a或b處取得，極值與最值是兩個不同的概念． (2)求f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟 ①求f(x)在(a，b)內的極值； ②將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值． 5．生活中的優化問題生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題稱為優化問題，優化問題也稱為最值問題．解決這些問題具有非常現實的意義．這些問題通常可以轉化為數學中的函式問題，進而轉化為求函式的最大（小）值問題

2樓：手機使用者

極限是個廣泛的概念，是自變數無限趨近於某個值時因變數的求值，導數的幾何定義是曲線或曲面上任意兩點無限接近時，他們連線的斜率大小，就是該點切線的斜率，對曲線來說，過定點的切線只有一條，但曲面有無數條，所以曲面又有偏導數的概念。導數是極限，但極限不一定是導數。

導數與極限的關係

3樓：匿名使用者

f(x)=x-1,f'(x)=1,所以有f'(0)=1。另外，f(x)在實數集r上是處處連續的，因此f(x)在r上任一點處的極限就等於f(x)在該點處的值，也就是limf(x)=f(0)=-1。

你是不是把極限與導數當同一回事了？其實不然。

函式在x點處的導數用以下極限定義：

f'(x0)=lim[(f(x)-f(x0))/(x-x0)]。

因此f'(0)=lim[(x-1)-(0-1)]/(x-0)=x/x=1.

4樓：昝軍揚曲

導數定義為：當自變數的增量趨於零時，因變數的增量與自變數的增量之商的極限。在一個函式存在導數時，稱這個函式可導或者可微分。

可導的函式一定連續。不連續的函式一定不可導。因此導數也是一種極限

函式的極限跟導數有什麼關係

5樓：soumns馬

極限的導數是先求極限在對結果求導；導數的極限是先求導，然後對導函式求極限。

可導的函式一定連續。不連續的函式一定不可導。連續必存在極限。

極限是微積分中的基礎概念，它指的是變數在一定的變化過程中，從總的來說逐漸穩定的這樣一種變化趨勢以及所趨向的值（極限值）。

導數定義為，當自變數的增量趨於零時，因變數的增量與自變數的增量之商的極限。在一個函式存在導數時，稱這個函式可導或者可微分。

擴充套件資料

極限的思想方法貫穿於數學分析課程的始終。可以說數學分析中的幾乎所有的概念都離不開極限。

在幾乎所有的數學分析著作中，都是先介紹函式理論和極限的思想方法，然後利用極限的思想方法給出連續函式、導數、定積分、級數的斂散性、多元函式的偏導數，廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分與曲面積分的概念。如：

1、函式在點連續的定義，是當自變數的增量趨於零時，函式值的增量趨於零的極限。

2、函式在點導數的定義，是函式值的增量與自變數的增量之比，當時的極限。

3、函式在點上的定積分的定義，是當分割的細度趨於零時，積分和式的極限。

4、數項級數的斂散性是用部分和數列的極限來定義的。

5、廣義積分是定積分其中為，任意大於的實數當時的極限，等等。

6樓：孤傲一世言

函式極限是高等數學最基本的概念之一，導數等概念都是在函式極限的定義上完成的。函式極限性質的合理運用。常用的函式極限的性質有函式極限的唯一性、區域性有界性、保序性以及函式極限的運演算法則和複合函式的極限等。

導數是函式的區域性性質。一個函式在某一點的導數描述了這個函式在這一點附近的變化率。如果函式的自變數和取值都是實數的話，函式在某一點的導數就是該函式所代表的曲線在這一點上的切線斜率。

導數的本質是通過極限的概念對函式進行區域性的線性逼近。

擴充套件資料：

導數與函式的性質：

一、單調性

1、若導數大於零，則單調遞增；若導數小於零，則單調遞減；導數等於零為函式駐點，不一定為極值點。需代入駐點左右兩邊的數值求導數正負判斷單調性。

2、若已知函式為遞增函式，則導數大於等於零；若已知函式為遞減函式，則導數小於等於零。

3、如果函式的導函式在某一區間內恆大於零（或恆小於零），那麼函式在這一區間內單調遞增（或單調遞減），這種區間也稱為函式的單調區間。

二、凹凸性

1、可導函式的凹凸性與其導數的單調性有關。如果函式的導函式在某個區間上單調遞增，那麼這個區間上函式是向下凹的，反之則是向上凸的。

2、如果二階導函式存在，也可以用它的正負性判斷，如果在某個區間上恆大於零，則這個區間上函式是向下凹的，反之這個區間上函式是向上凸的。曲線的凹凸分界點稱為曲線的拐點。

7樓：奉昂拜巧雲

可導的函式一定連續。不連續的函式一定不可導。導數實質上就是一個求極限的過程，導數的四則運演算法則**於極限的四則運演算法則。

亦名紀數、微商，由速度變化問題和曲線的切線問題而抽象出來的數學概念。又稱變化率。

如一輛汽車在10小時內走了600千米，它的平均速度是60千米／小時，但在實際行駛過程中，是有快慢變化的，不都是60千米／小時。為了較好地反映汽車在行駛過程中的快慢變化情況，可以縮短時間間隔，設汽車所在位置s與時間t的關係為s＝f（t），那麼汽車在由時刻t0變到t1這段時間內的平均速度是[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]，當t1與t0很接近時，汽車行駛的快慢變化就不會很大，平均速度就能較好地反映汽車在t0到t1這段時間內的運動變化情況，自然就把極限[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]作為汽車在時刻t0的瞬時速度，這就是通常所說的速度。一般地，假設一元函式y＝f(x)在x0點的附近(x0－a，x0＋a)內有定義，當自變數的增量δx＝x－x0→0時函式增量δy＝f（x）－f（x0）與自變數增量之比的極限存在且有限，就說函式f在x0點可導，稱之為f在x0點的導數（或變化率)。

若函式f在區間i的每一點都可導，便得到一個以i為定義域的新函式，記作f'，稱之為f的導函式，簡稱為導數。函式y＝f（x）在x0點的導數f'（x0）的幾何意義：表示曲線l在p0〔x0，f（x0）〕點的切線斜率。

一般地，我們得出用函式的導數來判斷函式的增減性的法則：設y＝f(x)在（a，b）內可導。如果在（a，b）內，f'（x）>0,則f（x）在這個區間是單調增加的。。

如果在（a，b）內，f'（x）<0,則f（x）在這個區間是單調減小的。所以，當f'（x）=0時，y＝f(x)有極大值或極小值，極大值中最大者是最大值，極小值中最小者是最小值。

導數的幾何意義是該函式曲線在這一點上的切線斜率。

（1）求函式y=f(x)在x0處導數的步驟：

①求函式的增量δy=f(x0

δx)-f(x0)

②求平均變化率

③取極限，得導數。

（2）幾種常見函式的導數公式：

①c'=0(c為常數函式)；

②(x^n)'=nx^(n-1)(n∈q)；

③(sinx)'=cosx；

④(cosx)'=-sinx；

⑤(e^x)'=e^x；

⑥(a^x)'=a^xlna（ln為自然對數）

⑦(inx)'=1/x（ln為自然對數）

⑧(logax)'=(xlna)^(-1),(a>0且a不等於1)

補充一下。上面的公式是不可以代常數進去的，只能代函式，新學導數的人往往忽略這一點，造成歧義，要多加註意。

（3）導數的四則運演算法則：

①(u±v)'=u'±v'

②(uv)'=u'v

uv'③(u/v)'=(u'v-uv')/v^2

（4）複合函式的導數

複合函式對自變數的導數，等於已知函式對中間變數的導數，乘以中間變數對自變數的導數--稱為鏈式法則。

導數是微積分的一個重要的支柱。牛頓及萊布尼茨對此做出了卓越的貢獻！

導數的應用

1．函式的單調性

(1)利用導數的符號判斷函式的增減性

利用導數的符號判斷函式的增減性，這是導數幾何意義在研究曲線變化規律時的一個應用，它充分體現了數形結合的思想．

一般地，在某個區間(a，b)內，如果＞0，那麼函式y=f(x)在這個區間內單調遞增；如果＜0，那麼函式y=f(x)在這個區間內單調遞減．

如果在某個區間內恆有=0，則f(x)是常函式．

注意：在某個區間內，＞0是f(x)在此區間上為增函式的充分條件，而不是必要條件，如f(x)=x3在內是增函式，但．

(2)求函式單調區間的步驟

①確定f(x)的定義域；

②求導數；

③由（或）解出相應的x的範圍．當f'(x)＞0時，f(x)在相應區間上是增函式；當f'(x)＜0時，f(x)在相應區間上是減函式．

2．函式的極值

(1)函式的極值的判定

①如果在兩側符號相同，則不是f(x)的極值點；

②如果在附近的左側，右側，那麼，是極大值或極小值.

3．求函式極值的步驟

①確定函式的定義域；

②求導數；

③在定義域內求出所有的駐點，即求方程及的所有實根；

④檢查在駐點左右的符號，如果左正右負，那麼f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那麼f(x)在這個根處取得極小值．

4．函式的最值

(1)如果f(x)在〔a,b〕上的最大值（或最小值）是在(a，b)內一點處取得的，顯然這個最大值（或最小值）同時是個極大值（或極小值），它是f(x)在(a，b)內所有的極大值（或極小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在〔a，b〕的端點a或b處取得，極值與最值是兩個不同的概念．

(2)求f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟

①求f(x)在(a，b)內的極值；

②將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．

5．生活中的優化問題

生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題稱為優化問題，優化問題也稱為最值問題．解決這些問題具有非常現實的意義．這些問題通常可以轉化為數學中的函式問題，進而轉化為求函式的最大（小）值問題

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