我還有多星期就要期末考試了,我是高一學生,幫忙總結一下數

時間 2021-08-11 17:16:08

1樓:凋謝e夢

指數函式的一般形式為y=a^x(a>0且≠1) (x∈r),從上面我們對於冪函式的討論就可以知道,要想使得x能夠取整個實數集合為定義域,則只有使得

如圖所示為a的不同大小影響函式圖形的情況。

在函式y=a^x中可以看到:

(1) 指數函式的定義域為所有實數的集合,這裡的前提是a大於0且不等於1,對於a不大於0的情況,則必然使得函式的定義域不存在連續的區間,因此我們不予考慮,

同時a等於0函式無意義一般也不考慮。

(2) 指數函式的值域為大於0的實數集合。

(3) 函式圖形都是下凹的。

(4) a大於1,則指數函式單調遞增;a小於1大於0,則為單調遞減的。

(5) 可以看到一個顯然的規律,就是當a從0趨向於無窮大的過程中(當然不能等於0),函式的曲線從分別接近於y軸與x軸的正半軸的單調遞減函式的位置,趨向分別接近於y軸的正半軸與x軸的負半軸的單調遞增函式的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。

(6) 函式總是在某一個方向上無限趨向於x軸,永不相交。

(7) 函式總是通過(0,1)這點,(若y=a^x+b,則函式定過點(0,1+b)

(8) 顯然指數函式無界。

(9) 指數函式既不是奇函式也不是偶函式。

(10)當兩個指數函式中的a互為倒數時,兩個函式關於y軸對稱,但這兩個函式都不具有奇偶性。

底數的平移:

對於任何一個有意義的指數函式:

在指數上加上一個數,影象會向左平移;減去一個數,影象會向右平移。

在f(x)後加上一個數,影象會向上平移;減去一個數,影象會向下平移。

即「上加下減,左加右減」

底數與指數函式影象:

(1)由指數函式y=a^x與直線x=1相交於點(1,a)可知:在y軸右側,影象從下到上相應的底數由小變大。

(2)由指數函式y=a^x與直線x=-1相交於點(-1,1/a)可知:在y軸左側,影象從下到上相應的底數由大變小。

(3)指數函式的底數與影象間的關係可概括的記憶為:在y軸右邊「底大圖高」;在y軸左邊「底大圖低」。(如右圖)

冪的大小比較:

比較大小常用方法:(1)比差(商)法:(2)函式單調性法;(3)中間值法:

要比較a與b的大小,先找一箇中間值c,再比較a與c、b與c的大小,由不等式的傳遞性得到a與b之間的大小。

比較兩個冪的大小時,除了上述一般方法之外,還應注意:

(1)對於底數相同,指數不同的兩個冪的大小比較,可以利用指數函式的單調性來判斷。

例如:y1=3^4,y2=3^5,因為3大於1所以函式單調遞增(即x的值越大,對應的y值越大),因為5大於4,所以y2大於y1.

(2)對於底數不同,指數相同的兩個冪的大小比較,可以利用指數函式影象的變化規律來判斷。

例如:y1=1/2^4,y2=3^4,因為1/2小於1所以函式影象在定義域上單調遞減;3大於1,所以函式影象在定義域上單調遞增,在x=0是兩個函式影象都過(0,1)然後隨著x的增大,y1影象下降,而y2上升,在x等於4時,y2大於y1.

(3)對於底數不同,且指數也不同的冪的大小比較,則可以利用中間值來比較。如:

<1> 對於三個(或三個以上)的數的大小比較,則應該先根據值的大小(特別是與0、1的大小)進行分組,再比較各組數的大小即可。

<2> 在比較兩個冪的大小時,如果能充分利用「1」來搭「橋」(即比較它們與「1」的大小),就可以快速的得到答案。哪麼如何判斷一個冪與「1」大小呢?由指數函式的影象和性質可知「同大異小」。

即當底數a和1與指數x與0之間的不等號同向(例如: a 〉1且x 〉0,或0〈 a〈 1且 x〈 0)時,a^x大於1,異向時a^x小於1.

〈3〉例:下列函式在r上是增函式還是減函式?說明理由.

⑴y=4^x

因為4>1,所以y=4^x在r上是增函式;

⑵y=(1/4)^x

因為0<1/4<1,所以y=(1/4)^x在r上是減函式

對數函式

一般地,如果a(a大於0,且a不等於1)的b次冪等於n,那麼數b叫做以a為底n的對數,記作log an=b,其中a叫做對數的底數,n叫做真數。

對數函式的公理化定義

真數式子沒根號那就只要求真數式大於零,如果有根號,要求真數大於零還要保證根號裡的式子大於零,

底數則要大於0且不為1

對數函式的底數為什麼要大於0且不為1

在一個普通對數式裡 a<0,或=1 的時候是會有相應b的值的。但是,根據對數定義: logaa=1;如果a=1或=0那麼logaa就可以等於一切實數(比如log1 1也可以等於2,3,4,5,等等)第二,根據定義運算公式:

loga m^n = nloga m 如果a<0,那麼這個等式兩邊就不會成立 (比如,log(-2) 4^(-2) 就不等於(-2)*log(-2) 4;一個等於4,另一個等於-4)

對數函式的一般形式為 y=log(a)x,它實際上就是指數函式的反函式,可表示為x=a^y。因此指數函式裡對於a的規定,同樣適用於對數函式。

右圖給出對於不同大小a所表示的函式圖形:

可以看到對數函式的圖形只不過的指數函式的圖形的關於直線y=x的對稱圖形,因為它們互為反函式。

(1) 對數函式的定義域為大於0的實數集合。

(2) 對數函式的值域為全部實數集合。

(3) 函式影象總是通過(1,0)點。

(4) a大於1時,為單調增函式,並且上凸;a小於1大於0時,函式為單調減函式,並且下凹。

(5) 顯然對數函式無界。

對數函式的常用簡略表達方式:

(1)log(a)(b)=log(a)(b)

(2)lg(b)=log(10)(b)

(3)ln(b)=log(e)(b)

對數函式的運算性質:

如果a〉0,且a不等於1,m>0,n>0,那麼:

(1)log(a)(mn)=log(a)(m)+log(a)(n);

(2)log(a)(m/n)=log(a)(m)-log(a)(n);

(3)log(a)(m^n)=nlog(a)(m) (n屬於r)

(4)log(a^k)(m^n)=(n/k)log(a)(m) (n屬於r)

(5)log(a)m×log(a)n=log(a)(m+n)

(6)log(a)m÷log(a)n=log(a)(m-n)

對數與指數之間的關係

當a大於0,a不等於1時,a的x次方=n等價於log(a)n

log(a^k)(m^n)=(n/k)log(a)(m) (n屬於r)

換底公式 (很重要)

log(a)(n)=log(b)(n)/log(b)(a)= lnn/lna=lgn/lga

ln 自然對數 以e為底

lg 常用對數 以10為底

[編輯本段]對數的定義和運算性質

一般地,如果a(a大於0,且a不等於1)的b次冪等於n,那麼數b叫做以a為底n的對數,記作log(a)(n)=b,其中a叫做對數的底數,n叫做真數。

底數則要大於0且不為1

對數的運算性質:

當a>0且a≠1時,m>0,n>0,那麼:

(1)log(a)(mn)=log(a)(m)+log(a)(n);

(2)log(a)(m/n)=log(a)(m)-log(a)(n);

(3)log(a)(m^n)=nlog(a)(m) (n∈r)

(4)換底公式:log(a)m=log(b)m/log(b)a (b>0且b≠1)

對數與指數之間的關係

當a>0且a≠1時,a^x=n x=㏒(a)n (對數恆等式)

對數函式的常用簡略表達方式:

(1)log(a)(b)=log(a)(b)

(2)常用對數:lg(b)=log(10)(b)

(3)自然對數:ln(b)=log(e)(b)

e=2.718281828... 通常情況下只取e=2.71828 對數函式的定義

對數函式的一般形式為 y=㏒(a)x,它實際上就是指數函式的反函式(圖象關於直線y=x對稱的兩函式互為反函式),可表示為x=a^y。因此指數函式裡對於a的規定(a>0且a≠1),同樣適用於對數函式。

右圖給出對於不同大小a所表示的函式圖形:

可以看到對數函式的圖形只不過的指數函式的圖形的關於直線y=x的對稱圖形,因為它們互為反函式。

[編輯本段]性質

定義域:(0,+∞)值域:實數集r

定點:函式影象恆過定點(1,0)。

單調性:a>1時,在定義域上為單調增函式,並且上凸;

00,則a可以是任意[實數;

排除了為0這種可能,即對於x<0或x>0的所有實數,q不[能是偶數;

排除了為負數這種可能,即對於x為大於或等於0的所有實數,a就不能是負數。

總結起來,就可以得到當a為不同的數值時,冪函式的定義域的不同情況如下:

如果a為任意實數,則函式的定義域為大於0的所有實數;

如果a為負數,則x肯定不能為0,不過這時函式的定義域還必須根[據q的奇偶性來確定,即如果同時q為偶數,則x不能小於0,這時函式的定義域為大於0的所有實數;如果同時q為奇數,則函式的定義域為不等於0 的所有實數。

在x大於0時,函式的值域總是大於0的實數。

在x小於0時,則只有同時q為奇數,函式的值域為非零的實數。

而只有a為正數,0才進入函式的值域。

由於x大於0是對a的任意取值都有意義的,

因此下面給出冪函式在第一象限的各自情況.

可以看到:

(1)所有的圖形都通過(1,1)這點.(a≠0) a>0時 圖象過點(0,0)和(1,1)

(2)當a大於0時,冪函式為單調遞增的,而a小於0時,冪函式為單調遞減函式。

(3)當a大於1時,冪函式圖形下凸;當a小於1大於0時,冪函式圖形上凸。

(4)當a小於0時,a越小,圖形傾斜程度越大。

(5)顯然冪函式無界限。

(6)a=0,該函式為偶函式 {x|x≠0}。

2樓:失去y擁有

一般考試不等式也就是大題的第一道是7、8分那樣

看看例題弄懂了就差不多及格了。

還有救市一定得讀懂題基本就沒什麼問題了

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