尤拉公式的推導過程,尤拉公式如何推匯出來

時間 2021-09-06 08:08:08

1樓:慕野清流

一方面,在原圖中利用各面求內角總和。

設有f個面,各面的邊數為n1,n2,…,nf,各面內角總和為:

σα = [(n1-2)·180+(n2-2)·180 +…+(nf-2) ·180]

= (n1+n2+…+nf -2f) ·180

=(2e - 2f) ·180= (e-f) ·360 (1)

另一方面,在拉開圖中利用頂點求內角總和。

設剪去的一個面為n邊形,其內角和為(n-2)·180,則所有v個頂點中,有n個頂點在邊上,v-n個頂點在中間。中間v-n個頂點處的內角和為(v-n)·360,邊上的n個頂點處的內角和(n-2)·180。

所以,多面體各面的內角總和:

σα = (v-n)·360+(n-2)·180+(n-2)·180 =(v-2)·360. (2)

由(1)(2)得: (e-f) ·360 =(v-2)·360

所以 v + f – e = 2.

2樓:匿名使用者

級數即可證明

將函式y=e^x、y=sinx、y=cosx用冪級數,有

e^x=exp(x)=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+…+x^n/n!+… <1>

sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……+(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+…… <2>

cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……+(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+…… <3>

將<1>式中的x換為ix,得到<4>式;

將i*<2>+<3>式得到<5>式。比較<4><5>兩式,知<4>與<5>恆等。

於是我們匯出了e^ix=cosx+isinx,

將公式裡的x換成-x,得到:

e^-ix=cosx-isinx,然後採用兩式相加減的方法得到:

sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.

tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

此時三角函式定義域已推廣至整個複數集。

p.s.

冪級數c0+c1x+c2x^2+...+cnx^n+...=∑cnx^n (n=0..∞)

c0+c1(x-a)+c2(x-a)^2+...+cn(x-a)^n+...=∑cn(x-a)^n (n=0..∞)

它們的各項都是正整數冪的冪函式, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常數, 這種級數稱為冪級數.

泰勒式(冪級數法):

f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)^2+...f(n)(a)/n!*(x-a)^n+...

實用冪級數:

ex = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...

ln(1+x)= x-x^2/3+x^3/3-...(-1)k-1*x^k/k+... (|x|<1)

sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)k-1*x^(2k-1)/(2k-1)!+... (-∞

cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)k*x^(2k)/(2k)!+... (-∞

arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ... (|x|<1)

arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ... ) (|x|<1)

arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (x≤1)

sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+...(-1)k-1*x^(2k-1)/(2k-1)!+... (-∞

cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+...(-1)k*x^(2k)/(2k)!+... (-∞

arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - ... (|x|<1)

arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|<1)

3樓:波波蘿

尤拉公式如何推匯出來

4樓:縱橫豎屏

推導過程這三個公式分別為其省略餘項的麥克勞林公式,其中麥克勞林公式為泰勒公式的一種特殊形式

這個恆等式也叫做尤拉公式,它是數學裡最令人著迷的一個公式,它將數學裡最重要的幾個數字聯絡到了一起:兩個超越數:自然對數的底e,圓周率π;兩個單位:虛數單位i和自然數的單位1;

以及被稱為人類偉大發現之一的0。數學家們評價它是“上帝創造的公式”。

5樓:匿名使用者

e^ix=cosx+isinx,e是自然對數的底,i是虛數單位。它將三角函式的定義域擴大到複數,建立了三角函式和指數函式的關係,它在複變函式論裡佔有非常重要的地位。 e^ix=cosx+isinx的證明:

因為e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!

+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!

-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!

-x^7/7!…… 在e^x的式中把x換成±ix. (±i)^2=-1, (±i)^3=

6樓:抗豐席韋

尤拉公式有4條

(1)分式:

a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)

當r=0,1時式子的值為0

當r=2時值為1

當r=3時值為a+b+c

(2)複數

由e^iθ=cosθ+isinθ,得到:

sinθ=(e^iθ-e^-iθ)/2i

cosθ=(e^iθ+e^-iθ)/2

(3)三角形

設r為三角形外接圓半徑,r為內切圓半徑,d為外心到內心的距離,則:

d^2=r^2-2rr

(4)多面體

設v為頂點數,e為稜數,是面數,則

v-e+f=2-2p

p為尤拉示性數,例如

p=0的多面體叫第零類多面體

p=1的多面體叫第一類多面體

等等其實尤拉公式是有4個的,上面說的都是多面體的公式

7樓:林清他爹

尤拉公式不是推匯出來的,尤拉公式就是一個定義式!如下:

在複變函式中,設z是一個作為宗量(也就是自變數)的複數,則z=x+iy。則定義w=f(z)=e^z=e^(x+iy)=(e^x)(e^iy)=(e^x)(cosy+isiny)。請注意上式的幾個等號的含義:

第二個等號定義了有e^z這種形式的複變函式(具體是什麼對應法則不清楚,只是告訴你有這麼樣的一個函式);第三個等號不是新的定義,是等價替換;第四個等號是一個新的定義,定義了這個函式滿足一個新的運演算法則(指數之和可以拆分成兩項之積,類似於實數);第五個等號定義了尤拉公式,告訴你e^iy具體的對應法則!(這裡可能有點不好理解,因為e^z是一個複變函式,那麼e^z肯定是一個複數,那麼它肯定也能用x+iy這樣的形式表達出來,第五個等號就是給出了函式的對應法則!)

所以嚴格來說尤拉公式不是推匯出來的,只是一個定義式!只不過當時沒有直接定義,而是根據類比實數得出來的,然後才有了嚴格的定義。網上有好多人問尤拉公式怎麼證明,其實這顯示出了他們邏輯的混亂,沒有正確區分類比演義,定義,定理,證明四者的關係。

剛開始並沒有尤拉公式這個嚴格的定義,最初的尤拉公式是人們通過類比實數得出的演繹結果罷了,然後才有了尤拉公式嚴格的定義。

8樓:

複變函式論裡的尤拉公式

e^ix=cosx+isinx,e是自然對數的底,i是虛數單位。它將三角函式的定義域擴大到複數,建立了三角函式和指數函式的關係,它在複變函式論裡佔有非常重要的地位。 e^ix=cosx+isinx的證明:

因為e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!

+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!

-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!

-x^7/7!…… 在e^x的式中把x換成±ix. (±i)^2=-1, (±i)^3=∓i, (±i)^4=1 …… e^±ix=1±ix/1!

-x^2/2!∓x^3/3!+x^4/4!

…… =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……) 所以e^±ix=cosx±isinx 將公式裡的x換成-x,得到:

e^-ix=cosx-isinx,然後採用兩式相加減的方法得到:

sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做尤拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到:

e^iπ+1=0.這個恆等式也叫做尤拉公式,它是數學裡最令人著迷的一個公式,它將數學裡最重要的幾個數字聯絡到了一起:兩個超越數:

自然對數的底e,圓周率

π,兩個單位:虛數單位i和自然數的單位1,以及被稱為人類偉大發現之一的0。數學家們評價它是“上帝創造的公式”,我們只能看它而不能理解它。

9樓:匿名使用者

|令z=cosx+isinx

則dz/dx=-sinx+icosx=i²sinx+icosx=zidz/z=idx

ln|z|=ix+c

由於x=0時,z=1,則c=0

所以ln|z|=ix

z=e^(ix)=cosx+isinx

10樓:狂曠念鴻禧

用拓樸學方法證明尤拉公式

嘗尤拉公式:對於任意多面體(即各面都是平面多邊形並且沒有洞的立體),假

設f,e和v分別表示面,稜(或邊),角(或頂)的個數,那麼

f-e+v=2。試一下用拓樸學方法證明關於多面體的面、稜、頂點數的尤拉公式。

證明如圖15(圖是立方體,但證明是一般的,是“拓樸”的):

(1)把多面體(圖中①)看成表面是薄橡皮的中空立體。

(2)去掉多面體的一個面,就可以完全拉開鋪在平面上而得到一個平面中的直線形,像圖中②的樣子。假設f′,e′和v′分別表示這個平面圖形的(簡單)多邊形、邊和頂點的個數,我們只須證明f′-e′+v′=1。

(3)對於這個平面圖形,進行三角形分割,也就是說,對於還不是三角形的多邊形陸續引進對角線,一直到成為一些三角形為止,像圖中③的樣子。每引進一條對角線,f′和e′各增加1,而v′卻不變,所以f′-e′+v′不變。因此當完全分割成三角形的時候,f′-e′+v′的值仍然沒有變。

有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上。

(4)如果某一個三角形有一邊在邊界上,例如圖④中的△abc,去掉這個三角形的不屬於其他三角形的邊,即ac,這樣也就去掉了△abc。這樣f′和e′各減去1而v′不變,所以f′-e′+v′也沒有變。

(5)如果某一個三角形有二邊在邊界上,例如圖⑤中的△def,去掉這個三角形的不屬於其他三角形的邊,即df和ef,這樣就去掉△def。這樣f′減去1,e′減去2,v′減去1,因此f′-e′+v′仍沒有變。

(6)這樣繼續進行,直到只剩下一個三角形為止,像圖中⑥的樣子。這時f′=1,e′=3,v′=3,因此f′-e′+v′=1-3+3=1。

(7)因為原來圖形是連在一起的,中間引進的各種變化也不破壞這事實,因此最後圖形還是連在一起的,所以最後不會是分散在向外的幾個三角形,像圖中⑦那樣。

(8)如果最後是像圖中⑧的樣子,我們可以去掉其中的一個三角形,也就是去掉1個三角形,3個邊和2個頂點。因此f′-e′+v′仍然沒有變。

即f′-e′+v′=1

成立,於是尤拉公式:

f-e+v=2得證。

尤拉公式的推導過程,尤拉公式如何推匯出來

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