1樓：夢的啟程
可以通過移項把未知數移到同一邊。
解方程依據：
1、移項變號：把方程中的某些項帶著前面的符號從方程的一邊移到另一邊，並且加變減，減變加，乘變除以，除以變乘；
2、等式的基本性質：等式兩邊同時加(或減)同一個數或同一個代數式，所得的結果仍是等式。
擴充套件資料：
一、一元一次方程解法：
去分母 方程兩邊同時乘各分母的最小公倍數。
去括號 一般先去小括號，再去中括號，最後去大括號。但順序有時可依據情況而定使計算簡便。可根據乘法分配律。
移項 把方程中含有未知數的項移到方程的另一邊，其餘各項移到方程的另一邊移項時別忘記了要變號。
合併同類項將原方程化為ax=b(a≠0)的形式。
化係數為一方程兩邊同時除以未知數的係數。
得出方程的解。
二、二元一次方程解法：
消元：將方程組中的未知數個數由多化少，逐一解決。
代入消元。
三、一元二次方程解法：
1、公式法（直接開平方法）
2、配方法
3、因式分解法
4、十字相乘法
2樓：平皖清
以2x+1=3x-2為例
解方程的依據是等式的基本性質.
兩邊先同時減去2x,得到：
2x+1-2x=3x-2-2x
1=x-2
方程兩邊交換位置,得到：
x-2=1
兩邊同時加上2,得到：
x-2+2=1+2x=3
兩邊都有未知數的方程怎麼解？
3樓：匿名使用者
1、整式方程
等號兩邊都是關於未知數的整式的方程，叫做整式方程．
2、一元二次方程
一個格式方程整理後如果只含有一個未知數，且未知數的最高次項的次數為2次的方程，叫做一元二次方程．
3、一元二次方程的一般形式
方程ax2＋bx＋c=0(a、b、c為常數，a≠0)稱為一元二次方程的一般形式，其中ax2，＋bx，＋c分別叫做二次項，一次項和常數項，a、b分別稱為二次項係數和一次項係數．
4、一元二次方程的解
能使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解．
5、直接開方法
形如x2=a(a≥0)和(x＋m)2=n(n≥0)的方程，根據平方根的定義，可採用直接開平方法解方程．
6、配方法解一元二次方程
例如：將方程x2＋6x＋7=0的常數項移到右邊，並將一次項6x改寫成2·x·3得：x2＋2·x·3=－7．
可以看出，為了使左邊成為完全平方式，在方程兩邊都加上32(即一次項係數一半的平方)得
x2＋6x＋32＝－7＋32，整理得
(x＋3)2＝2，
解這個方程得．
這種解一元二次方程的方法叫做配方法．這種方法就是先把方程的常數項移到方程的右邊，再把左邊配成一個完全平方式，如果右邊是非負數，就可以直接利用開平方法求出它的解．
7、一元二次方程的求根公式
一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)，當b2－4ac≥0時的根為．
該式稱為一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法稱為求根公式法，簡稱公式法．
8、一元二次方程的根的判別式
(1)當b2－4ac＞0時，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有實數根，；
(2)當b2－4ac=0時，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有實數根；
(3)當b2－4ac＜0時，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)沒有實數根．
其中b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根的判別式．
9、因式分解法
(1)分解因式法：當一元二次方程的一邊為0，而另一邊易於分解成兩個一次因式的乘積時，我們就可以將一元二次方程化為兩個一元一次方程來求解，從而求出原方程的解，這種解一元二次方程的方法稱為分解因式法．
(2)用分解因式法解一元二次方程的步驟：
①將方程的右邊化為0；
②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；
③令每一個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；
④解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解．
二、重難點知識歸納
1、一元二次方程的解法．
2、一元二次方程根的判別式．
三、典型例題剖析
例1、關於x的方程是一元二次方程，則m=______；
解：由題意得解得．
故填．例2、(1)已知關於x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1=0的一根是0，則a的值為（ ）
a．1 b．－1
c．1或－1 d．
(2)關於x的方程(m＋2)2x2＋3m2x＋m2－4=0有一根為0，則2m2－4m＋3的值為（ ）
a．3 b．19
c．±2 d．3或19
思路：根據方程的根的定義可知數0都滿足方程，但不同的是第(1)題給出的是關於x的一元二次方程，而第(2)題是關於x的方程，即後者有可能是關於x的一元一次方程，即(m＋2)2有可能為0，也有可能不為0，前者的二次項係數(a－1)一定不為0．
(1)將x=0代入方程(a－1)x2＋x＋a2－1=0得a2－1=0，∴a=1或a=－1，又因為關於x的方程(a－1)x2＋x＋a2－1=0是一元二次方程，∴a－1≠0即a≠1，故a的值為－1；
(2)將x=0代入原方程得m2－4=0，∴m=±2，當m=2時，2m2－4m＋3=3，當m=－2時，此時方程為一次方程，符合題意，且此時2m2－4m＋3=19，故所求的代數式的值為3或19．
解：(1)b； (2)d．
總結：(1)代解、求解是解決與方程的根有關的問題的兩種基本方法；
(2)要注意關於x的方程與關於x的一元二次方程的區別，後者必須滿足二次項係數不能為0．
例3、已知m、n都是方程x2＋2006x－2008=0的根，試求(m2＋2006m－2007)(n2＋2006n＋2007)的值．
思路：根據一元二次方程的根的定義，由於m、n都是方程x2＋2006x－2008=0的根，所以m2＋2006m－2008=0，n2＋2006n－2008=0，由此不難求出(m2＋2006m－2007)和(n2＋2006n－2007)的值．
解：∵m、n是方程x2＋2006x－2008=0的根，
∴m2＋2006m－2008=0，n2＋2006n－2008=0
∴m2＋2006m－2007=1
n2＋2006n＋2007=4015
∴(m2＋2006m－2007)(n2＋2006n＋2007)=1×4015=4015
總結：要善於運用根的定義，求出某些代數式的值．
例4、解方程(1)x2－4x－3=0；(2)2x2＋3=7x．
思路：(1)方程x2－4x－3=0的二次項的係數已經是1，可以直接運用配方法求解；
(2)方程2x2＋3=7x先化為一般形式，這個方程的二次項係數是2，為了便於配方，可把二次項係數先化為1，為此，把方程的各項都除以2．
解：(1)移項得x2－4x=3
配方得x2－4x＋(－2)2=7
即(x－2)2=7
解這個方程得x－2=±，即；
(2)移項得2x2－7x=－3
把方程兩邊都除以2得
配方得．
即解這個方程是，x2=3．
總結：配方法是解一元二次方程的重要方法，熟練掌握完全平方式是配方法解題的基礎．對於二次項係數為1的方程，在方程兩邊同時加上一次項係數一半的平方即可配方，若二次項係數不為1，一般應先將二次項係數變為1，然後再配方比較簡便，熟練後，根據具體情況可靈活處理．
例5、小明、小華和小英三人共同**代數式x2－4x＋5的值的情況，他們進行了明確的分工，小明負責找出最小值，小華負責找出值為0的x的值，小英負責求出最大值，5分鐘後，各自通報自己的成績．
小華說：當x2－4x＋5=0時，方程沒有解，故找不到滿足條件的x值，使x2－4x＋5的值為零．
小明說：我考察了很多數，發現最小值為1．
小英說：x2－4x＋5的值隨x取值改變而改變，我暫時沒有找到它的最大值．
聰明的同學，你能用什麼方法很快對他們的結論作出準確的判斷嗎？我想，你一定行的！
思路：將x2－4x＋5配方易得出結論．
解：因為x2－4x＋5＝x2－4x＋22＋1
=(x－2)2＋1
當x=2時，代數式的值最小，最小值為1，所以小明結論正確，由此可知找不到滿足條件的x值，使x2－4x＋5的值為零，也可以知道代數式沒有最大值(在此處配方的威力可大啊！)
總結：配方法是一種最重要的數學方法，通過配方，使代數式**現完全平方式的形式，然後利用完全平方式的特點，使問題得到解決．
例6、解下列方程：
(1)；
(2)；
(3);
(4)．
思路：用求根公式法解一元二次方程的關鍵是找出a、b、c的值，再代入公式計算，
解：(1)∵a=1，，c=10∴∴
(2)原方程可化為
∵a=1，，c=2∴∴
(3)原方程可化為
∵a=1，，c=－1∴∴；
∴．(4)原方程可化為∵∴
∴；∴．
總結：(1)用求根公式法解一元二次方程首先將方程化為一般形式；如果二次項係數為負數，通常將其化為正數；如果方程的係數含有分母，通常先將其化為整數，求出的根要化為最簡形式；
(2)用求根公式法解方程按步驟進行。
例7、解方程：．
思路：因為，若設則原方程可化為：3y2－5y－2=0，解此方程求得y值，再代回原式，求出x的值，也可以直接把看作一個整體，先求出的值，再求x．
解：設，原方程化為3y2－5y－2=0．
∵a=3，b=－5，c=－2，
∴b2－4ac=25－4×3×(－2)=49
∴，∴y1=2，
當時，，解得．
當y=2時，，解得．
∴原方程的解為，．
總結：使用換元法的關鍵在於換元式的確定．本例中求出y1=2，後還沒有達到解題的目的．因為本例中不是解關於y的方程，而是解關於x的方程，因此，必須反代回去，求出x．
例8、(1)解下列方程：
x2－2x－2=0①； 2x2＋3x－1=0②；
2x2－4x＋1=0③； x2＋6x＋3=0④．
(2)上面四個方程中，有三個方程一次項係數有共同特點，請你用代數式表示這個特點，並推匯出具有這個特點的一元二次方程的求根公式．
思路：利用求根公式法求出方程的根．觀察四個方程可知：方程①③④的一次項係數均為偶數．即一次項係數為偶數2n(n為整數)，再利用求根公式推導．
解：(1)解方程x2－2x－2=0①
得解方程2x2＋3x－1=0②
得解方程2x2－4x＋1=0③
得解方程x2＋6x＋3=0④
得；(2)其中方程①③④的一次項係數為偶數2n(n為偶數)
一元二次方程ax2＋bx＋c=0其中b2－4ac≥0，b=2n，n為整數
因為b2－4ac≥0，即(2n)2－4ac≥0，∴n2－ac≥0
所以一元二次方程ax2＋2nx＋c=0(n2－ac≥0)的求根公式為．
總結：找出方程中一次項係數的共同特點，然後再運用一元二次方程的求根公式推匯出新的表示式．
例9、如果關於x的一元二次方程kx2－2(k＋2)x＋k＋5=0沒有實數根，試說明關於x的方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0必有實數根．
思路：由一元二次方程kx2－2(k＋2)x＋k＋5=0沒有實數根，可以得出k≠0，b2－4ac＜0，從而求出k的取值範圍，再由k的範圍來說明方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0必有實數根．
解：因為關於x的一元二次方程kx2－2(k＋2)x＋k＋5=0沒有實數根，所以
解得k＞4．
所以當k=5時，方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0為一元一次方程，此時方程的根為．
當k≠5時，方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0為一元二次方程
所以b2－4ac=[－2(k＋2)]2－4(k－5)·k
=4(9k＋4)
因為k＞4，且k≠5，所以4(9k＋4)＞0，即b2－4ac＞0．
所以此時方程必有兩個不等實根．
綜上可知方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0必有實數根．
總結：(1)方程“有實數根”與“有兩個實數根”有著質的區別，方程有實數根“表示方程可能為一元一次方程”，此時方程有一實數根，方程也可能為一元二次方程，此時方程有兩個實數根；而方程“有兩個實數根”則表示此時方程一定為一元二次方程；
(2)運用根的判別式時，一定要注意其成立的前提條件是二次項係數不能為0，即方程是一元二次方程．
例10、用因式分解法解下列方程．
(1)3(2x－5)2=4(5－2x)；(2)(3x－4)2=(4x－3)2；(3)9(2x＋3)2=25(1－3x)2．
思路：用因式分解法解方程時，一定要通過分解因式的方式，使方程的左邊變成積的因式，而右邊為零，(1)中可提取公因式2x－5，(2)、(3) 中沒有公因式，但發現可用平方差公式a2－b2=(a＋b)(a－b)來分解．
解：(1)原方程化為3(2x－5)2－4(5－2x)=0
即3(2x－5)2＋4(2x－5)=0
∴(2x－5)[3(2x－5)＋4]=0
∴；(2)移項，得(3x－4)2－(4x－3)2=0
方程左邊分解因式，
得[(3x－4)＋(4x－3)][(3x－4)－(4x－3)]=0
即(7x－7)(－x－1)=0
∴x1=1，x2=－1；
(3)移項，得9(2x＋3)2－25(1－3x)2=0
方程左邊分解因式，
得[3(2x＋3)＋5(1－3x)][3(2x＋3)－5(1－3x)]=0
即(14－9x)(21x－4)=0
∴．總結：
(1)在解方程中切忌在求解過程產生失根現象；
(2)運用公式法分解因式必須先將其改寫成符合公式的特徵的形式，再進行因式分解．
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分母出現未知數就不是一元一次方程了.一元一次方程必須是整式方程,分母中不能含有字母.分母中含有字母是分式方程了 分式方程的解法 去分母 方程兩邊同時乘以最簡公分母 最簡公分母 係數取最小公倍數 出現的字母取最高次冪 出現的因式取最高次冪 將分式方程化為整式方程 若遇到互為相反數時,不要忘了改變符號....
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