證明 對任意矩陣A,有r A TA r AA T r A

時間 2021-08-11 17:42:30

1樓:

因為 (aa^t)^t = (a^t)^ta^t = aa^t 所以 aa^t 是對稱矩陣同理, 因為 (a^ta)^t = a^t(a^t)^t = a^ta 所以 a^ta是對稱矩陣. 性質: (ab)^t=b^ta^t 還有什麼問題…… 要證d對稱則要證d^t=d

2樓:匿名使用者

對任意矩陣a,有r(a'a)=r(aa')=r(a)上面一位同學的回答是正確的,但他只證明了:

r(a'a)=r(a)

對於aa'來說,

有若方程:aa'x=0那麼,x'aa'x=(a'x)'(a'x)=0一個矩陣和它的轉置相乘是0,則矩陣是0。則有a'x=0若a'x=0

有:aa'x=0

即aa'x=0 與a'x=0 同解。

所以:r(aa')=r(a')

再利用線性代數關於轉置矩陣對結論,

r(a)=r(a')

記得證明:

r(a'a)=r(aa')=r(a)

下一次希望同學把a的轉置寫成:a'這樣就不會出現理解為a的t此房的誤解。(當然,a^t也不算錯)。

設a為m×n實矩陣,證明r(a^t a)=r(a)

3樓:夢色十年

^證明齊次線性方程組 ax=0 (1)與 a^tax=0 (2)同解即可:

顯然(1)的解是(2)的解。

設x0是(2)的解, 則 a^版tax0=0。

所以權 x0^t a^tax0=0。

所以 (ax0)^t(ax0)=0。

所以 ax0 = 0。

即有(2)的解也是(1)的解。

故兩個方程組同解進而基礎解系含相同的個數的解向量。

即 n-r(a) = n-r(a^ta)。

所以r(a^t a)=r(a)。

4樓:匿名使用者

方法:證明齊bai次線性方程組 ax=0 (1)與 a^tax=0 (2)同解

du即可

顯然zhi(1)的解dao

是(2)的解

設x0是(2)的解, 則 a^內tax0=0所以 x0^t a^tax0=0

所以 (ax0)^t(ax0)=0

所以 ax0 = 0

即有(2)的解也容是(1)的解

故兩個方程組同解進而基礎解系含相同的個數的解向量即 n-r(a) = n-r(a^ta)

所以 ......

5樓:匿名使用者

若r(a)=n,注意ax=來0的充分必要條件是自x=0。則對任意的非零x,有ax非零,於是x^ta^tax=(ax)^t(ax)>0,故a^ta正定。反之,設a^ta正定。

若r(a)

線性代數!求大神解答!設a為n維列向量,且a^ta=1,令a=e-aa^t,其中e是n階單位矩陣,

6樓:風清響

r(a)=n-1,首bai先可以確定,a的基du礎解系所含的解向量個zhi數是n-(n-1)=1個

那麼就dao

很簡單了,

版找一個向量,代入

權ax=0可以使之成立就行了。

利用題目的暗示,這個向量可能是a

我們試一試代入ax=0

(e-aa^t)x=0

(e-aa^t)a=0

a右乘進去得

(e-aa^t)a=(a-aa^ta),因為a^ta=1,所以(e-aa^t)a=(a-aa^ta)=(a-a)=0,也就是aa=0,所以a就是基礎解系

所以通解是x=ka,k為任意常數

--------------

另外提醒一下,一般像這種有a^ta的題目,經常會左(右)乘a或者at來利用題目的條件。

線性代數!求大神解答!設a為n維列向量,且a^ta=1,令a=e-aa^t,其中e是n階單位矩陣,

7樓:孔秀花吉黛

r(a)=n-1,首先可以確定,a的基礎解系所含的解向量個數是n-(n-1)=1個

那麼就很簡單了,找一個向量,代入ax=0可以使之成立就行了。

利用題目的暗示,這個向量可能是a

我們試一試代入ax=0

(e-aa^t)x=0

(e-aa^t)a=0

a右乘進去得

(e-aa^t)a=(a-aa^ta),因為a^ta=1,所以(e-aa^t)a=(a-aa^ta)=(a-a)=0,也就是aa=0,所以a就是基礎解系

所以通解是x=ka,k為任意常數

--------------

另外提醒一下,一般像這種有a^ta的題目,經常會左(右)乘a或者at來利用題目的條件。

矩陣證明題:若n階方陣滿足aa^t=e,設a是n維列向量,a^ta=/0矩陣a=e-3aa^t.

8樓:

一個更正,問題中的“a=2/3”似乎有誤,應為“a^ta=2/3”

首先可知a是一個對稱陣,那麼aa^t=e就等價於(e-3aa^t)(e-3aa^t)=e,就得e-6aa^t+9(a^ta)(aa^t)=e,進一步合併同類項有:(9a^ta-6)aa^t=0

如果aa^t為零矩陣,則a=e,就過於特殊,故應不為零矩陣,所以括號內必為零,證畢

9樓:邱力樸軼

我。。知。。道

加。。我。。私。。聊

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