線性方程組和矩陣的初等變換一樣嗎?都用了什麼,幾種方法?說說理解謝謝

時間 2021-09-02 11:18:26

1樓:蒙了心

初等矩陣的概念是隨著矩陣初等變換的定義而來的。初等變換有三類:

1、位置變換:矩陣的兩行(列)位置交換;

2、數乘變換:數k乘以矩陣某行(列)的每個元素;

3、消元變換:矩陣的某行(列)元素同乘以數k,然後加到另外一行(列)上。

初等矩陣:由單位矩陣經過一次初等變換後所得的矩陣。

則根據三類初等變換,可以得到三種不同的初等矩陣。

1、交換陣e(i,j):單位矩陣第i行與第j行位置交換而得;

2、數乘陣e(i(k)):數k乘以單位矩陣第i行的每個元素(其實就是主對角線的1變成k);

3、消元陣e(ij(k)):單位矩陣的第i行元素乘以數k,然後加到第j行上。

其上的三種初等矩陣均可看成是單位矩陣的列經過初等變換而得。

初等矩陣的模樣其實我們可以嘗試寫一個3階或者4階的單位矩陣,然後進行初等變換來加深一下印象。

首先:初等矩陣都可逆,其次,初等矩陣的逆矩陣其實是一個同型別的初等矩陣(可看作逆變換)。

最關鍵的問題是:初等矩陣能用來做什麼?

當我們用初等矩陣左乘一個矩陣a的時候,我們發現矩陣a發生變化而成為矩陣b,而這種變化恰好是一個單位矩陣變成該初等矩陣所產生的變化。具體來說:

左乘的情況:

1、e(i,j)a=b,則矩陣a第i行與第j行位置交換而得到矩陣b;

2、e(i(k))a=b,則矩陣a的第i行的元素乘以數k而得到矩陣b;

3、e(ij(k))a=b,則矩陣a的第i行元素乘以數k,然後加到第j行上而得到矩陣b。

結論1:用初等矩陣左乘一個矩陣a,相當於對矩陣a做了一次相應的行的初等變換。

右乘的情況:

4、ae(i,j)=b,則矩陣a第i列與第j列位置交換而得到矩陣b;

5、ae(i(k))=b,則矩陣a的第i列的元素乘以數k而得到矩陣b;

6、ae(ij(k))=b,則矩陣a的第i列元素乘以數k,然後加到第j列上而得到矩陣b。

結論2:用初等矩陣右乘一個矩陣a,相當於對矩陣a做了一次相應的列的初等變換。

請注意並理解結論1和結論2中的「相應」兩字。

初等矩陣為由單位矩陣e經過一次初等變換(三種)而來,我們可以把初等矩陣看成是施加到單位矩陣e上的一個變換。

若某初等矩陣左(右)乘矩陣a,則初等矩陣會將原先施加到單位矩陣e上的變換,按照同種形式施加到矩陣a之上。或者說,我們想對矩陣a做變換,但是不是直接對矩陣a去做處理,而是通過一種間接方式去實現。

就像武林中已經失傳的絕技「隔山打牛」一樣。表演的時候一般是在一塊大石上放一塊豆腐,然後運力一掌擊打在豆腐上,結果豆腐紋絲不動,而下面的大石卻已四分五裂矣。

真有異曲同工之妙啊。

所以我們可以得出這樣一個結論:

對矩陣所做的任何的初等變換,都可以利用矩陣與初等變換的乘積來表示。

2樓:雪童子

我認為不一樣,但很相似。都是1.某個乘k倍 2.

k倍加到另一個上 3.兩個互換位置 這三種 。根本區別是矩陣初等變換可以對行變換 也可以對列變換;線性方程組相當於等式嘛,等式左右兩邊乘個東西互換位置啥的肯定不影響 但你對某個係數成k倍肯定不行 舉個例子 比如3x+2y=7 你對y前的係數乘k倍(比如k=3吧)就變成了3x+6y=7 這結果肯定不一樣了啊!

所以對應到矩陣(係數矩陣或增廣矩陣)只能對行變換 也就是說不能對列變換!一變換就完全錯了就是另一個方程啦!就像你求一個矩陣的逆矩陣一樣 一定不能先初等變換再求逆 因為初等變換後就完全是另一個矩陣了(只不過秩相等而已 等價並不是相等!

) 求的也是另一個矩陣的逆矩陣了 。這兩個是一個道理

矩陣的初等變換有什麼技巧,光是書本的知識太為難人了,求大神解答,謝謝!

3樓:夢色十年

實際上矩陣的變

換隻是線性方程組的幾個方程進行加減消元的過程的抽象化體現。所回以直接答想象成解線性方程組,進行加減消元就可以了。

方法:看到一個矩陣,先看左上角那個數是不是1,是1,ok。如果不是1,和第一個數是1的那一行換一下。接下來,把第一列除了左上角的1之外所有元素變為0,這裡用的就是行變換。

這個過程中,如果某兩行對應成比例,就可以讓其中的一行全變為0。直到將矩陣化為階梯型,像臺階一樣的形式,就可以了。

擴充套件資料初等行變換

1)以p中一個非零的數乘矩陣的某一行。

2)把矩陣的某一行的c倍加到另一行,這裡c是p中的任意一個數。

3)互換矩陣中兩行的位置。

一般來說,一個矩陣經過初等行變換後就變成了另一個矩陣,當矩陣a經過初等行變換變成矩陣b時,一般寫作a-b.可以證明:任意一個矩陣經過一系列初等行變換總能變成階梯型矩陣。

初等列變換

1)以p中一個非零的數乘矩陣的某一列。

2)把矩陣的某一列的c倍加到另一列,這裡c是p中的任意一個數。

3)互換矩陣中兩列的位置。

4樓:匿名使用者

你只要會

bai初等行變換

du就好,列變換不用管。zhi

而初等行變換最常用dao的就版

是化一般矩陣為行階

權梯型矩陣。無論解方程組,判斷線性相關性,還是求矩陣的秩都要化行階梯型矩陣。方法:

看到一個矩陣,先看左上角那個數是不是1,是1,ok。如果不是1,和第一個數是1的那一行換一下。接下來,把第一列除了左上角的1之外所有元素變為0,這裡用的就是行變換。

這個過程中,如果某兩行對應成比例,就可以讓其中的一行全變為0。直到將矩陣化為階梯型,像臺階一樣的形式,就可以了。

另一個重要應用是求矩陣的逆矩陣,也要用初等行變換:假設原矩陣是a,單位陣是e就是主對角線上是1其餘全為0的矩陣,構造的新的矩陣是(a,e)的時候,(就是兩個矩陣直接拼起來)只進行初等行變換變為(e,b)則b就是a的逆矩陣。

初等矩陣的逆矩陣怎麼求的?要過程。。謝謝大神

5樓:demon陌

1、行交換(列交換)的初等矩陣,逆矩陣還是本身;

2、某一行(或列)乘以一個倍數的初等矩陣,逆矩陣,是這一行(或列)除以這個倍數的初等矩陣;

3、某一行(或列)乘以一個倍數,加到另一行(或列)的初等矩陣,逆矩陣,是這一行(或列)乘以這個倍數的相反數,加到另外那一行(或列)的初等矩陣。

初等矩陣的逆矩陣其實是一個同型別的初等矩陣(可看作逆變換)。例如,交換矩陣中某兩行(列)的位置;用一個非零常數k乘以矩陣的某一行(列);將矩陣的某一行(列)乘以常數k後加到另一行(列)上去。

6樓:小樂笑了

求初等矩陣的逆矩陣,除了用初等行變換,伴隨矩陣等常規方法外,可以用下列方法來求:

1、行交換(列交換)的初等矩陣,逆矩陣還是本身2、某一行(或列)乘以一個倍數的初等矩陣,逆矩陣,是這一行(或列)除以這個倍數的初等矩陣

3、某一行(或列)乘以一個倍數,加到另一行(或列)的初等矩陣,逆矩陣,是這一行(或列)乘以這個倍數的相反數,加到另外那一行(或列)的初等矩陣

7樓:dear丶嵐熙灬

p(i,j)^-1=p(i,j)

p(i(c))^-1=p(i(1/c))

p(i,j(k))^-1=p(i,j(-k))

請分別用矩陣合同與初等變換兩種方法將下面的二次型化為標準形.跪求各位大神,謝謝啦! 30

8樓:匿名使用者

a=0 0 0 4

0 0 1 4

0 1 0 1

4 4 1 0

(a;e)=

0 0 0 4

0 0 1 4

0 1 0 1

4 4 1 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

c1+c4

8 4 1 4

4 0 1 4

1 1 0 1

4 4 1 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1 0 0 1

c2-1/2c1

8 0 1 4

0 -2 1/2 2

1 1/2 0 1

4 2 1 0

1 -1/2 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1 -1/2 0 1

c3-1/8c1

太麻煩了...!

初等變換問題:請問增廣矩陣是如何變換到最後一步的? 可以把詳細變換過程說一下嗎?謝謝大神們了~

9樓:angela韓雪倩

具體du如圖所示:

增廣矩zhi陣通常用於判斷矩陣的解的情況:dao

大一線性代數 兩道矩陣的初等變換題目 需要詳細步驟求解 謝謝~ 5

10樓:雪葬花螢蝶

如下圖所示,主要是逆矩陣運算和矩陣乘法運算,如有錯誤還請指正:

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