用數學歸納法證明 1 N N 1 N 2 N N 3 4 N 1 N

時間 2021-09-08 01:24:08

1樓:媚外的人

過程較繁瑣,但是道理很清晰

1/n(n+1)(n+2)=1/2n(n+1)-1/2(n+1)(n+2)=1/2(1/n+1/(n+2)-2/(n+1))

利用數學歸納法

先證n=1成立

設n=k成立,證明n=k+1成立

求採納為滿意回答。

2樓:匿名使用者

我不用數學歸納法,不知道是否對你有幫助,

由1/1×2×3=﹙2/1×2×3﹚×1/2=1/2﹙1/1×2-1/2×3﹚

1/2×3×4=1/2﹙1/2×3-1/3×4﹚。。。。。。

1/n﹙n+1﹚﹙n+2﹚=1/2[1/n﹙n+1﹚-1/﹙n+1﹚﹙n+2﹚]

∴原式=1/2[1/1×2-1/﹙n+1﹚﹙n+2﹚]=n﹙n+3﹚/4﹙n+1﹚﹙n+2﹚

3樓:高中數學莊稼地

證明:當n=1式,原式顯然成立

(2)假設n=k,

1/1*2*3+1/2*3*4+...+1/k(k+1)(k+2)=k(k+3)/4(k+1)(k+2)

當n=k+1,

1/1*2*3+1/2*3*4+...+1/k(k+1)(k+2)+1/(k+1)(k+2)(k+3)

=k(k+3)/4(k+1)(k+2)+1/(k+1)(k+2)(k+3)

=[k(k+3)^2+4]/4(k+1)(k+2)(k+3)=(k+4)*(k+1)^2/4(k+1)(k+2)(k+3)=(k+4)(k+1)/4(k+2)(k+3)原始成立

綜合(1)(2)的證

4樓:y嘉言懿行

n=1時,左邊=1/6=右邊

設n=n時等式成立,則

n=n+1時,左邊=1/1*2*3+1/2*3*4+...+1/n(n+1)(n+2)+1/(n+1)(n+2)(n+3)

=n(n+3)/4(n+1)(n+2)+1/(n+1)(n+2)(n+3)

=[n(n+3)(n+3)+4]/[4(n+1)(n+2)(n+3)]

=[(n+1)(n+1)(n+4)]/[4(n+1)(n+2)(n+3)]

=[(n+1)(n+4)]/[4(n+2)(n+3)]=右邊

故由數學歸納法,原等式成立

用數學歸納法證明: 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=1/3n (n+1)(n+2)

5樓:數學愛好者

證明:1)當n=1時左式=2,右式=2,此時命題成立2)假設當n=k時命題成立(k為正整數),即1*2+2*3+3*4+...+k(k+1)=1/3*k(k+1)(k+2)

3)那麼當n=k+1時,

1*2+2*3+3*4+...+k(k+1)+(k+1)(k+2)=1/3*k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)

=1/3*(k+1)(k+2)(k+3)

即此時命題成立,由數學歸納法知原命題成立。

用數學歸納法證明:1+1/根號2+1/根號3+....+1/根號<2根號n 求詳解

6樓:哇哎西西

令n=k時,成立,1+1/√

2+1/√3+┄┄+1/√k<2√k;

當n=k+1時,版上式左邊=1+1/√權2+1/√3+┄┄+1/√k+1/√(k+1),上式右邊=2√k+1/√(k+1),

∵4k²+4k<4k²+4k+1,∴2√k√(k+1)<2k+1,∴2√k√(k+1)+1<2k+2,∴2√k+1/√(k+1)<2√(k+1),

則上式右邊=2√k+1/√(k+1)<2√(k+1),即1+1/√2+1/√3+┄┄+1/√k+1/√(k+1)<2√(k+1)成立。

7樓:匿名使用者

當n=1時,左邊=1<2=右邊,不等式成立;

假設當n=k時不等式成立,

即1+1/√2+1/√3+....+1/√k<2√k (1)下證當n=k+1時也成立

(1)兩邊專同時加1/√(k+1)得:

左邊=1+1/√2+1/√3+....+1/√k+1/√(k+1)<2√k+[1/√(k+1)]=[2√k*√(k+1)+1]/√(k+1) (2)

下面證明:2√k*√(k+1)+1<2(k+1)即證:2√k*√(k+1)<2k+1

兩邊平方,即屬證:4k(k+1)<4k²+4k+1,此式顯然成立,因此2√k*√(k+1)+1<2(k+1)對於(2)

左邊<[2√k*√(k+1)+1]/√(k+1)<2(k+1)/√(k+1)=2√(k+1)=右邊

因此當n=k+1時,不等式成立,證畢。

8樓:匿名使用者

n=1時 左邊du=1 右邊=2 成立zhi假設n=k時成立

即1+1/√

dao2+1/√3+.....+1/√k<2√k那麼n=k+1時

左邊版=1+1/√2+1/√3+.....+1/√k+1/√(k+1)

<2√k +1/√(k+1)

=2√k + 2/ 2√(k+1)

<2√k +2/[√(k+1) +√k]

=2√k +2√(k+1) -2√k

=2√(k+1)

即n=k+1時也成權立

所以對一切 n∈n*,均有1+1/√2+1/√3+.....+1/√n<2√n

9樓:匿名使用者

證明:當n=1時,1<

2成立。 假設當版n=k,1+1/根號權2+1/根號3+...+1/根號k<2根號k 成立;則當n=k+1時,1+1/根號2+1/根號3+...

+1/根號k+1/根號(k+1)<2根號k+1/根號(k+1)通分2√k+1/√(k+1)=(2√k√(k+1)+1)/√k+1,∵2√k√(k+1)+1<k+k+1+1(此處運用均值不等式因為k不可能等於k+1,所以等號不成立).而2√(k+1)=2√(k+1)^2/√(k+1),2√(k+1)^2=k+k+1+1(因為k+1=k+1,所以取等),∴2√k√(k+1)+1<2√(k+1)^2∴2√k+1/√(k+1)<2√(k+1)∴當n=k+1時,1+1/根號2+1/根號3+...+1/根號k+1/根號(k+1)<2根號(k+1)成立∴對於任何n∈n+ 此不等式均成立。

10樓:匿名使用者

n=1時 1<2√

1=2成立

若當daon=k時,版1+1/√權2+...+1/√k<2√k成立則當n=k+1時,1+1/√2+...+1/√k+1/√(k+1)<2√k+1/√(k+1)

因為2√(k+1)-2√k

=2(√(k+1)-√k)(√(k+1)+√k)/(√(k+1)+√k)

=2/(√(k+1)+√k)

>2/(2√(k+1))

=1/√(k+1)

所以2√(k+1)>2√k+1/√(k+1)>1+1/√2+...+1/√(k+1),得證

11樓:匿名使用者

^^用縮bai放說 f(n)=1+1/2+1/3+...+1/(2^dun)-1-n/2 g(n)=1+1/2+1/3+...+1/(2^n)-1/2-n f(1)=1+1/2-1-1/2=0 若zhif(n)≥0 f(n+1)=1+1/2+1/3+...

+1/(2^n)-1-n/2+1+n/2-1-(n+1)/2+1/(2^n +1)+…dao1/2^(n +1) 而f(n)≥0 1/(2^n +1)+…1/2^(n +1) ≥[2^(n+1)-2^n-1+1]/2^(n+1)=1/2 f(n+1)≥0

12樓:鞠天國

1 n=1時,顯然成立

2 假設n=k時成立 即

1+1/更號回2+…+1/根號

答k<1/根號k

n=k+1時

左邊=(1+1/根號2+…+1/根號k)+1/根號k+1<2根號k+1/根號k+1

2根號k+1- (2根號k+1/根號k+1)=2(根號k+1-根號k)-1/根號k+ 1=2( (根號k+1-根號k)*( 根號k+1+根號k))/ (根號k+1+根號k) -1/根號k+ 1

=2/ (根號k+1+根號k)-1/根號k+1>2/ (根號k+1+根號k+1)-1/根號k+1=0所以左邊- 2根號k+1<0

即左邊《右邊

綜上所述 成立

用數學歸納法證明,1 2 3n 1 2 n(n

小寬 n 1時,1 1 2 1 1 1 成立 當n k 1時成立,即1 2 3 k 1 1 2 k 1 k 1 1 當n k時,1 2 3 k 1 2 k 1 k 1 1 k 1 2 k 1 k k 1 2 k 1 k,成立 故無論n為何值,1 2 3 n 1 2 n n 1 都成立 不懂請追問 手...

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第一題 證明 x 2n 1 y 2n 1 能被x y整除 1 n 1時 x y能被x y整除 故n 1時成立 n 2時 x 3 y 3 x y x xy y 能被x y整除 2 假設n k,n k 1時 命題成立 即 x 2k 1 y 2k 1 能被x y 整除 x 2k 3 y 2k 3 能被x ...

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