數學因式分解的難點最好有例題

時間 2021-05-17 21:38:55

1樓:雪的飄下

定義:把一個多項式化為幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式因式分解,也作分解因式。

意義:它是中學數學中最重要的恆等變形之一,它被廣泛地應用於初等數學之中,是我們解決許多數學問題的有力工具。因式分解方法靈活,技巧性強,學習這些方法與技巧,不僅是掌握因式分解內容所必需的,而且對於培養學生的解題技能,發展學生的思維能力,都有著十分獨特的作用。

學習它,既可以複習的整式四則運算,又為學習分式打好基礎;學好它,既可以培養學生的觀察、注意、運算能力,又可以提高學生綜合分析和解決問題的能力。

分解因式與整式乘法互為逆變形。

因式分解的方法

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因式分解沒有普遍的方法,初中數學教材中主要介紹了提公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法。而在競賽上,又有拆項和添項法,待定係數法,雙十字相乘法,輪換對稱法,剩餘定理法,分組分解法等。

一常規方法

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⑴提公因式法

各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。

如果一個多項式的各項有公因式,可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法。

具體方法:當各項係數都是整數時,公因式的係數應取各項係數的最大公約數;字母取各項的相同的字母,而且各字母的指數取次數最低的;取相同的多項式,多項式的次數取最低的。

如果多項式的第一項是負的,一般要提出“-”號,使括號內的第一項的係數成為正數。提出“-”號時,多項式的各項都要變號。

例如:-am+bm+cm=-m(a-b-c);

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b).

⑵運用公式法

如果把乘法公式反過來,就可以把某些多項式分解因式,這種方法叫運用公式法。

平方差公式:a^2-b^2=(a+b)(a-b);

完全平方公式:a^2±2ab+b^2=(a±b)^2;

注意:能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式,其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式,另一項是這兩個數(或式)的積的2倍。

立方和公式:a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2);

立方差公式:a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2);

完全立方公式:a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3.

其餘公式請參看上邊的**。

例如:a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2(參看右圖).

二非常規方法

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⑶分組分解法

把一個多項式適當分組後,再進行分解因式的方法叫做分組分解法。

用分組分解法時,一定要想想分組後能否繼續完成因式分解,由此選擇合理選擇分組的方法,即分組後,可以直接提公因式或運用公式。

例如:m^2+5n-mn-5m=m^2-5m -mn+5n

= (m^2 -5m )+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n).

⑷拆項、補項法

這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項(或幾項),使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解。要注意,必須在與原多項式相等的原則下進行變形。

例如:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b).

也可以參看右圖。

⑸配方法

對於某些不能利用公式法的多項式,可以將其配成一個完全平方式,然後再利用平方差公式,就能將其因式分解,這種方法叫配方法。屬於拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形。

例如:x^2+3x-40

=x^2+3x+2.25-42.25

=(x+1.5)^2-(6.5)^2

=(x+8)(x-5).

也可以參看右圖。

⑹十字相乘法

這種方法有兩種情況。

①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

這類二次三項式的特點是:二次項的係數是1;常數項是兩個數的積;一次項係數是常數項的兩個因數的和。因此,可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分解:

x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .

②kx^2+mx+n型的式子的因式分解

如果如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m時,那麼kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d).

圖示如下:

·a b

· ×·c d

例如:因為

·1 -3

· ×·7 2

且2-21=-19,

所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3).

多項式因式分解的一般步驟:

①如果多項式的各項有公因式,那麼先提公因式;

②如果各項沒有公因式,那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解;

③如果用上述方法不能分解,那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解;

④分解因式,必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。

也可以用一句話來概括:“先看有無公因式,再看能否套公式。十字相乘試一試,分組分解要合適。”

幾道例題

1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2.

解:原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2

=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]

=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)

=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]

=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y).

也可以參看右圖。

2.求證:對於任何實數x,y,下式的值都不會為33:

x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5.

解:原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y).

(分解因式的過程也可以參看右圖。)

當y=0時,原式=x^5不等於33;當y不等於0時,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四個以上不同因數的積,所以原命題成立。

3..△abc的三邊a、b、c有如下關係式:-c^2+a^2+2ab-2bc=0,求證:這個三角形是等腰三角形。

分析:此題實質上是對關係式的等號左邊的多項式進行因式分解。

證明:∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0,

∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0.

∴(a-c)(a+2b+c)=0.

∵a、b、c是△abc的三條邊,

∴a+2b+c>0.

∴a-c=0,

即a=c,△abc為等腰三角形。

4.把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。

解:-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)

=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1).

也可以參看右圖。

三特殊方法

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⑺應用因式定理

對於多項式f(x)=0,如果f(a)=0,那麼f(x)必含有因式x-a.

例如:f(x)=x^2+5x+6,f(-2)=0,則可確定x+2是x^2+5x+6的一個因式。(事實上,x^2+5x+6=(x+2)(x+3).)

⑻換元法

有時在分解因式時,可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數,然後進行因式分解,最後再轉換回來,這種方法叫做換元法。

例如在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12時,可以令y=x^2+x,則

原式=(y+1)(y+2)-12

=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10

=(y+5)(y-2)

=(x^2+x+5)(x^2+x-2)

=(x^2+x+5)(x+2)(x-1).

也可以參看右圖。

⑼求根法

令多項式f(x)=0,求出其根為x1,x2,x3,……xn,則該多項式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) .

例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6時,令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0,

則通過綜合除法可知,該方程的根為0.5 ,-3,-2,1.

所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1).

⑽圖象法

令y=f(x),做出函式y=f(x)的圖象,找到函式影象與x軸的交點x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn).

與方法⑼相比,能避開解方程的繁瑣,但是不夠準確。

例如在分解x^3 +2x^2 -5x-6時,可以令y=x^3 +2x^2 -5x-6.

作出其影象,與x軸交點為-3,-1,2

則x^3 +2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2).

⑾主元法

先選定一個字母為主元,然後把各項按這個字母次數從高到低排列,再進行因式分解。

⑿特殊值法

將2或10代入x,求出數p,將數p分解質因數,將質因數適當的組合,並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式,將2或10還原成x,即得因式分解式。

例如在分解x^3+9x^2+23x+15時,令x=2,則

x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105,

將105分解成3個質因數的積,即105=3×5×7 .

注意到多項式中最高項的係數為1,而3、5、7分別為x+1,x+3,x+5,在x=2時的值,

則x^3+9x^2+23x+15可能等於(x+1)(x+3)(x+5),驗證後的確如此。

⒀待定係數法

首先判斷出分解因式的形式,然後設出相應整式的字母系數,求出字母系數,從而把多項式因式分解。

例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4時,由分析可知:這個多項式沒有一次因式,因而只能分解為兩個二次因式。

於是設x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)

=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd

由此可得a+c=-1,

ac+b+d=-5,

ad+bc=-6,

bd=-4.

解得a=1,b=1,c=-2,d=-4.

則x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4).

也可以參看右圖。

⒁雙十字相乘法

雙十字相乘法屬於因式分解的一類,類似於十字相乘法。用一道例題來說明如何使用。

例:分解因式:x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12.

分析:這是一個二次六項式,可考慮使用雙十字相乘法進行因式分解。

解: x 2y 2

① ② ③

x 3y 6

∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6).

雙十字相乘法其步驟為:

①先用十字相乘法分解2次項,如十字相乘圖①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y);

②先依一個字母(如y)的一次係數分數常數項。如十字相乘圖②中6y^2+18y+12=(2y+2)(3y+6);

③再按另一個字母(如x)的一次係數進行檢驗,如十字相乘圖③,這一步不能省,否則容易出錯。

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你寫的沒看明白,不過x 2 xy 6y 2 x 2y x 3y 這是不可能等於的。不相等啊,不可能,你看錯了吧。你的意思是不是為什麼xy yx?x 1 4 x 3 4 272 x 3 4 4 4 x 1 4 2 4 平方差 x 3 2 4 2 x 3 2 4 2 x 1 2 2 2 x 1 2 2 ...