1樓：匿名使用者
因為m,n為正整數
所以m^2-4n0)
-4n=-2ma+a^2
即n=a(2m-a)/4
所以n^2-4m=a^2(2m-a)^2/4-4m因為n是正整數
所以a(2m-a)能被4整除
故a為偶數
不妨設a=2b，(b>0)
則n^2-4m=(b(m-b))^2-4m=c^2b^2m^2-(2b^3+4)m+b^4-c^2=0假設上述一元二次方程有實數根m1、m2
則m1+m2=2b+4/b^2
m1*m2=b^2-c^2/b^2
因為m為正整數
所以4/b^2為正整數
故b=1或2
b=1時，m1+m2=6，m1*m2=1-c^2因為c≥0
所以m1*m2=1-c^2≤0
故無解b=2時，m1+m2=5，m1*m2=4-c^2/4因為c≥0
所以c=0或2
當c=0時，m1+m2=5，m1*m2=4解得m1=1，m2=4
因為n=b(m-b)>0
所以m>b
所以m=4，n=4
當c=2時，m1+m2=5，m1*m2=0所以m1=0，m2=5
因為n=b(m-b)>0
所以m=5，n=6
綜上，(m,n)為(4,4)或(5,6)
2樓：匿名使用者
只有2組解（2，2）（5，6）
3樓：我是土匪和天才
(m^2-4n)^2=(n^2-4m）*2
正整數對(m,n)就有（1.1）（3.3）。。。。。。。。。。
求所有正整數對(m,n),使得m^2-4n和n^2-4m均是完全平方數
4樓：
^既然m^2-4n和n^2-4m都是平方數，而且顯然m^2-4n設m^2-4n=(m-k)^2，(k為正整數)
-4n=-2mk+k^2
n=k(2m-k)/4
因此n^2-4m=k^2(2m-k)^2/4-4m因為n是正內整數
所以容k(2m-k)能被4整除
所以k必須是偶數
不妨設k=2p，(p為正整數)
則n^2-4m=(p(m-p))^2-4m=c^2p^2m^2-(2p^3+4)m+p^4-c^2=0以上一元二次方程有實數根，設為m1、m2
則m1+m2=2p+4/p^2
m1*m2=p^2-c^2/p^2
因為m為正整數
所以4/p^2必為正整數
故p=1或2
p=1時，m1+m2=6，m1*m2=1-c^2因為c≥0，所以m1*m2=1-c^2≤0故無解p=2時，m1+m2=5，m1*m2=4-c^2/4因為c≥0
所以c=0或2
當c=0時，m1+m2=5，m1*m2=4解之得m1=1，m2=4
因為n=p(m-p)>0，所以m>p
所以m=4，n=4
當c=2時，m1+m2=5，m1*m2=0所以m1=0，m2=5
又因為n=b(m-b)>0
所以m=5，n=6
綜上所述，(m,n)為(4,4)、(5,6)或（6,5)
求所有正整數對（m，n），使得m²-4n和n²-4m均是完全平方數
5樓：匿名使用者
m²-4n和n²-4m都是平方數，
設n²-4m=4c^2--------------------------(1) (不是n²-4m=c^2)
m，n是正整數,顯然m²-4n0，p為正整數,所以m>p, ∴m≠1,
所以m=4，n=p(m-p)=2*(4-2)=4當c^2=4時，m1+m2=5，m1*m2=0所以m1=0，m2=5
又因為n=p(m-p)>0, p為正整數,所以m>p, ∴m≠1,所以m=5，n=p(m-p)=2*(5-2)=6m,n 是對稱, 所以同樣可以證明 m=6，n=5綜上所述，(m,n)為(4,4)、(5,6)或（6,5)
若m,n∈正整數，試求出所有有序整數對（m,n），使得(n^3+1)/(mn-1)∈整數
6樓：起名何其難
解答繁瑣。
答案是：(1,2)(1,3)(2,5)(3,5)(2,2)(2,1)(3,1)(5,2)(5,3) 共九對。
大體是由對稱性知m和n一樣，然後用同餘的知識解。
參見《高中數學競賽培優教程（專題講座）》（浙江大學出版社）第20頁【例2.5】。
已知（mn-1)|(n^3+1)
因為（mn-1,m)=1,所以（mn-1,m^3)=1
所以由（mn-1)|(n^3+1)可以得出（mn-1)|(n^3+1)*m3
但
又因為（mn-1)|(m^3*n^3-1)，所以（mn-1)|(m^3+1)
若m=n,則（n^3+1)/(mn-1)=(m^3+1)/(n^2-1)=n+1/(n-1),即1/（n-1)是整數，只能是n=2,答案是（2，2）
若m<>n,不妨設m>n
若n=1,則2/(m-1)是整數，m=2,3,此時答案是（2，1），（3，1）
若m>n>=2,因n^3+1對n同餘1，mn-1對n同餘-1,
令n^3+1=q(mn-1),必有q對n同餘-1,故可設q=kn-1,於是
kn-1=(n^3+1)/(mn-1)<(n^3+1)/(n^2-1)=n+1/(n-1)<=n+1
注意到n>=2,所以k=1.於是
n^3+1=(n-1)(mn-1)=mn^2-n-mn+1,
n^2=mn-1-m,
n^2-1=m(n-1)-2
上式表明（n-1)|2,故n=2,3,相應的m=5,答案為（5，2），（5，3），
考慮到m,n的對稱性，還有（1,2),(1,3),(2,5),(3,5).
求所有正整數對 m,n 使得5 m 5 n可以表示成為兩個整數的平方和
一 當m n為偶數時顯然滿足。如樓上。二 當m n同為奇數時滿足。m n順序無關，可設m n 都為奇數。當m 1時，n m，n 2k 1 k為自然數0 1 2 1 易知k 0即n 1時，5 1 5 1 10 1 2 3 2。2 當k 0即 n 1的奇數時，5 1 5 2k 1 必可表示為 5 k 2...
設對任意的正整數m,n,不等式m1 mn都成立，則實數k的取值範圍是
解 下面提供一種參考，這個問題可以轉化為二元函式求最值問題，建議參考高等數學下冊的一些內容。設f x,y xy 1 1 x yx 1 1 y xy x y都是正整數，這是一個對稱的輪換多項式，只需求出它的極值就行了，下面求解 先求出x,y的偏導數，如下 令f x,y y 1 1 x y 1 1 y ...
求所有正整數對 a,b 使ab a b 1整除a
ab a b 1 ab 1 ab 1 ab a 2 b 1 a 2 b如果a 2 b 0 那麼對於任意的 t,t 2 給出全部ab a 2 b 1 ab 1的解 否則設b a k ab a 2 b 1 a 2 ak a 2 a k 1 ak a k 1 a 1 k 1 ab 1 a a k 1 a ...