1樓：考今
常見的三角恆等式
設a，b，c是三角形的三個內角
tana+tanb+tanc=tanatanbtanc
cotacotb+cotbcotc+cotccota=1
(cosa)^2+(cosb)^2+(cosc)^2+2cosacosbcosc=1
cosa+cosb+cosc=1+4sin(a/2)sin(b/2)sin(c/2)
tan(a/2)tan(b/2)+tan(b/2)tan(c/2)+tan(c/2)tan(a/2)=1
sin2a+sin2b+sin2c=4sinasinbsinc
sina+sinb+sinc=4cos(a/2)cos(b/2)cos(c/2)
二倍角公式
sin2a=2sina•cosa
cos2a=cos^2a-sin^2a=1-2sin^2a=2cos^2a-1
tan2a=（2tana）/（1-tan^2a）
三倍角公式
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)
三倍角公式推導
sin3a
=sin(2a+a)
=sin2acosa+cos2asina
=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina
=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a=3sina-4sin^3a
=4sina(3/4-sin^2a)
=4sina[(√3/2)^2-sin^2a]
=4sina(sin^260°-sin^2a)
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos^2a-3/4)
=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]
=4cosa(cos^2a-cos^230°)
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述兩式相比可得
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)
半形公式
tan(a/2)=(1-cosa)/sina=sina/(1+cosa);
cot(a/2)=sina/(1-cosa)=(1+cosa)/sina.
sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2
cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)）
和差化積
sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb=tan(a+b)(1-tanatanb)
tana-tanb=sin(a-b)/cosacosb=tan(a-b)(1+tanatanb)
積化和差
sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2
cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2
雙曲函式
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2
tanh(a) = sin h(a)/cos h(a)
公式一：
設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函式的值相等：
sin（2kπ＋α）= sinα
cos（2kπ＋α）= cosα
tan（2kπ＋α）= tanα
cot（2kπ＋α）= cotα
公式二：
設α為任意角，π+α的三角函式值與α的三角函式值之間的關係：
sin（π＋α）= -sinα
cos（π＋α）= -cosα
tan（π＋α）= tanα
cot（π＋α）= cotα
公式三：
任意角α與 -α的三角函式值之間的關係：
sin（-α）= -sinα
cos（-α）= cosα
tan（-α）= -tanα
cot（-α）= -cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函式值之間的關係：
sin（π-α）= sinα
cos（π-α）= -cosα
tan（π-α）= -tanα
cot（π-α）= -cotα
公式五：
利用公式-和公式三可以得到2π-α與α的三角函式值之間的關係：
sin（2π-α）= -sinα
cos（2π-α）= cosα
tan（2π-α）= -tanα
cot（2π-α）= -cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α與α的三角函式值之間的關係：
sin（π/2+α）= cosα
cos（π/2+α）= -sinα
tan（π/2+α）= -cotα
cot（π/2+α）= -tanα
sin（π/2-α）= cosα
cos（π/2-α）= sinα
tan（π/2-α）= cotα
cot（π/2-α）= tanα
sin（3π/2+α）= -cosα
cos（3π/2+α）= sinα
tan（3π/2+α）= -cotα
cot（3π/2+α）= -tanα
sin（3π/2-α）= -cosα
cos（3π/2-α）= -sinα
tan（3π/2-α）= cotα
cot（3π/2-α）= tanα
(以上k∈z)
a·sin(ωt+θ)+ b·sin(ωt+φ) =
√ • sin }
√表示根號,包括中的內容
誘導公式
sin(-α) = -sinα
cos(-α) = cosα
tan (-α)=-tanα
sin(π/2-α) = cosα
cos(π/2-α) = sinα
sin(π/2+α) = cosα
cos(π/2+α) = -sinα
sin(π-α) = sinα
cos(π-α) = -cosα
sin(π+α) = -sinα
cos(π+α) = -cosα
tana= sina/cosa
tan（π/2＋α）＝－cotα
tan（π/2－α）＝cotα
tan（π－α）＝－tanα
tan（π＋α）＝tanα
誘導公式記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限
其它公式
(1) (sinα)^2+(cosα)^2=1
(2)1+(tanα)^2=(secα)^2
(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2
證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sinα)^2,第二個除(cosα)^2即可
(4)對於任意非直角三角形,總有
tana+tanb+tanc=tanatanbtanc
證: a+b=π-c
tan(a+b)=tan(π-c)
(tana+tanb)/(1-tanatanb)=(tanπ-tanc)/(1+tanπtanc)
整理可得
tana+tanb+tanc=tanatanbtanc
得證 同樣可以得證,當x+y+z=nπ(n∈z)時,該關係式也成立
由tana+tanb+tanc=tanatanbtanc可得出以下結論
(5)cotacotb+cotacotc+cotbcotc=1
(6)cot(a/2)+cot(b/2)+cot(c/2)=cot(a/2)cot(b/2)cot(c/2)
(7)(cosa）^2+(cosb）^2+(cosc）^2=1-2cosacosbcosc
(8)（sina）^2+（sinb）^2+（sinc）^2=2+2cosacosbcosc
其他非重點三角函式
csc(a) = 1/sin(a)
sec(a) = 1/cos(a)
2樓：匿名使用者
常見的三角恆等式及其證明
設a，b，c是三角形的三個內角
(1)tana+tanb+tanc=tanatanbtanc
證明：tana+tanb+tanc=tan(a+b)(1-tanatanb)+tanc=tan(π-c)(1-tanatanb)+tanc=-tanc(1-tanatanb)+tanc=tanatanbtanc
(2)cotacotb+cotbcotc+cotccota=1
證明：tana+tanb+tanc=tanatanbtanc
cotx*tanx=1
cotacotb+cotbcotc+cotccota=1
(3)(cosa)^2+(cosb)^2+(cosc)^2+2cosacosbcosc=1
證明：(cosa)^2+(cosb)^2+x^2+2cosacosbx=1
x^2+2cosacosbx+(cosa)^2+(cosb)^2-1=0
x=/2 (韋達定理）
x=-cosacosb+-√[(cosacosb)^2-((cosa)^2+(cosb)^2-1)]
x=-cosacosb+-√[1-(cosa)^2][1-(cosb)^2]
x=-cosacosb+-√[(sina)^2(sinb)^2]
x=-cosacosb+-sinasinb
x=-cos(a+b)或-cos（a-b）
x=cosc或-cos（a-b)
兩解都是原方程的根
因為 cosc是方程的一個根
所以 (cosa)^2+(cosb)^2+(cosc)^2+2cosacosbcosc=1
(4)cosa+cosb+cosc=1+4sin(a/2)sin(b/2)sin(c/2)
證明：cosa+cosb+cosc=1+4sin(a/2)sin(b/2)sin(c/2)
cos(180-b-c)+cosb+cosc=1+2sin(a/2)[2sin(b/2)sin(c/2)]
cos(180-b-c)+cosb+cosc=1+2cos(b/2+c/2)[2sin(b/2)sin(c/2)]
-cos(b+c)+cosb+cosc=1+2cos(b/2+c/2)[2sin(b/2)sin(c/2)]
-cos(b+c)+cosb+cosc=1+2cos(b/2+c/2)[cos(b/2-c/2)-cos(b/2+c/2)]
-cos(b+c)+cosb+cosc=1+2cos(b/2+c/2)cos(b/2-c/2)-2[cos(b/2+c/2)]^2
cosb+cosc=2cos(b/2+c/2)cos(b/2-c/2)
2[cos(b/2+c/2)]^2-1=cos(b+c)
(5)tan(a/2)tan(b/2)+tan(b/2)tan(c/2)+tan(c/2)tan(a/2)=1
證明：a/2+b/2+c/2=π/2
(π/2-a)+(π/2-b)+(π/2-c)=π
cot(π/2-a)cot(π/2-b)+cot(π/2-c)cot(π/2-b)+cot(π/2-a)cot(π/2-c)=1
tan(a/2)tan(b/2)+tan(b/2)tan(c/2)+tan(c/2)tan(a/2)=1
(6)sin2a+sin2b+sin2c=4sinasinbsinc
證明1：
設三角形abc不是鈍角三角形，且外心為o
s△abo+s△aco+s△cbo=s△abc
(1/2)rrsinaob+(1/2)rrsinaoc+(1/2)rrsinboc (aob=2c,aoc=2b.boc=2a)
(1/2)rrsin2c+(1/2)rrsin2b+(1/2)rrsin2a=(1/2)bcsina=(1/2)2rsinb*2rsinc*sina
sin2a+sin2b+sin2c=4sinasinbsinc
證明2：sin2a+sin2b+sin2c
= 2sin(a+b)cos(a-b)+sin2c
= 2sinccos(a-b)+2sinccosc
= 2sinc*[cos(a-b)-cos（a+b)]
= 2sinc*[-2sinasin(-b)]
= 4sinc*sina*sinb
(7)sina+sinb+sinc=4cos(a/2)cos(b/2)cos(c/2)
證明：4cos(a/2)cos(b/2)cos(c/2)
=[2cos(c/2)]*[2cos(a/2)cos(b/2)]
=[2sin(a/2+b/2)]*[cos(a/2+b/2)+cos(a/2-b/2)]
=2sin(a/2+b/2)cos(a/2+b/2)+2sin(a/2+b/2)cos(a/2-b/2)
=sin(a+b)+2sin(a/2+b/2)cos(a/2-b/2)
=sinc+2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
=sinc+sin[(a+b)/2+(a-b)/2]+sin[(a+b)/2-(a-b)/2]
=sinc+sina+sinb
高中數學三角恆等變換 我從哪兒錯了嗎
解 我覺得是因為 的取值範圍有關，如果是tan 7的話，那麼 2了，因 tan 2 1,tan的函式在 0,的是增函式，所以可以肯定由此得到結論 2，故要捨棄tan 7了！問題在兩邊平方這一步,平方後注意檢驗即可.當cos 50 50時,sin 7 50 50,sin 2 5 5 50 50 5 5...
高中數學三角函式問題，如圖，高中數學，三角函式週期性問題怎麼做？
因為 80 與10 互餘，35 與55 互餘，那麼就有 cos80 sin10 cos55 sin35 那麼原式就可以變換為 sin10 cos35 cos10 sin35 sin 10 35 注 兩角和正弦公式 sin45 2 2 因為cos167 cos 90 77 cos 90 77 sin ...
高中數學三角函式問題，高中數學三角函式問題求解。
一衝三年 1.答案是.0,5 12 解析 因為cosx的單調遞減區間是 2k 2k 所以令2k 2x 6 2k 解得 k 12 只有當k 1時滿足條件，解得範圍為 12,5 12 而又因為x屬於 0，所以 0,5 12 2.答案是 23 2 解析 移動後的方程是 f x sin w x 6 4 2k...