1樓：風痕雲跡
設 an = sup 即 序列 xn, x(n+1),..... 的上限。n =1,2,....
設 bn = inf 即 序列 xn, x(n+1),..... 的下限。n =1,2,....
因為 有界， 所以 , 都存在。並且 an >= bn
是遞減序列且有界，必有極限。 設其極限為a.
是遞增序列且有界，必有極限。設其極限為b.
因為 an >= bn, 所以 a >= b.
如果 a = b, 則 收斂於a, 與題設 發散矛盾。
於是有： a > b
任給 m > 0, 因 an ---> a, 所以 存在 n 使得 |an - a| < 1/(2m),
an = sup, 所以 存在 m1, 使得 |xm1 - an| < 1/(2m)
===> |xm1 - a| <= |an - a| + |xm1 - an| < 1/m
於是 序列 ----> a
類似可以找到序列 , 使得 xm2 ---> b.
2樓：匿名使用者
反證法？？如果收斂於同一數值，則原數列收斂？？不過好像邏輯上不夠嚴密！你是數學分析的吧
設數列{xn}滿足xn+1=xn2+1xn，x0＞0，n=1，2，3，…，證明：數列{xn}的極限存在並求極限limn→∞xn
如何證明有界發散數列必有兩個收斂於不同值的子列
3樓：匿名使用者
記這個數列為,且|x[n]|n使得|x[n]-a|>=e
也就是存在數列,使得|x[n[m]]-a|>=e,即x[n[m]]>=a+e或x[n[m]]=a+e或所有y[n]=a+e,則y[n]∈[a+e,m]有界,所以y[n]有收斂子列z[n]（這個也是x[n]的子列）,且極限》=a+e>a
設0＜xn＜3，xn+1＝xn(3?xn)（n=1，2，3，…）．證明：數列{xn}的極限存在，並求此極限
4樓：侍懷山
0＜xn＜3，x
n+1＝xn
(3?xn)
（n=1，2，3，…）存在．
xn+1＝x
n(3?xn)
=94?(32?x
n)，故0＜x
n+1≤3
2，0＜x
n+2≤3
2因此，有數學歸納法可知：對於任意正整數n＞1均有0＜xn≤32，因此數列有界．
又有xn+1?xn
＝xn(3?xn)
?xn=x
n(3?xn?x
n)∵對於任意正整數n＞1均有0＜xn≤3
2∴對於任意正整數n＞1，0＜xn≤3
2≤3?x
n＜3．
∴3?xn≥
xn∴xn+1-xn≥0即xn+1≥xn
故數列單調增加．
由單調有界數列必有極限可知數列極限存在．
假設數列極限為a，即lim
n→∞x
n＝a，
對xn+1＝x
n(3?xn)
兩邊取極限可得a＝
a(3?a)
解得a＝3
2或a＝0
由於0＜xn＜3而數列單調增加，因此數列極限limn→∞xn≥x
n＞0故a＝3
2因此lim
n→∞xn＝32．
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