1樓：之桂蘭景凰
一 導數
1、導數的定義
設函式y=f(x)在點x=x0及其附近有定義，當自變數x在x0處有改變數△x（△x可正可負），則函式y相應地有改變數△y=f(x0＋△x)－f(x0)，這兩個改變數的比叫做函式y=f(x)在x0到x0＋△x之間的平均變化率.
如果當△x→0時，有極限，我們就說函式y=f(x)在點x0處可導，這個極限叫做f(x)在點x0處的導數（即瞬時變化率，簡稱變化率），記作f′(x0)或，即
函式f(x)在點x0處的導數就是函式平均變化率當自變數的改變數趨向於零時的極限．如果極限不存在，我們就說函式f(x)在點x0處不可導.
2、求導數的方法
由導數定義，我們可以得到求函式f(x)在點x0處的導數的方法：
（1）求函式的增量△y=f(x0＋△x)－f(x0)；
（2）求平均變化率；
（3）取極限，得導數
3、導數的幾何意義
函式y=f(x)在點x0處的導數的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點p（x0，f(x0)）處的切線的斜率f′(x0).
相應地，切線方程為y－y0=
f′(x0)(x－x0).
二連續函式，在數學中是指這樣的一個函式，即對於輸入的任意小的變化產生輸出的任意小的變化。如果輸入的微小的變化會產生輸出的變化的一個突然的跳躍，則這個函式被稱為是不連續的（或者說具有不連續性）。
對於實值連續函式
假設我們有一個從實數到實數的對映，並且定義在某個區間上，如同上面提到的h，t
和m。這類函式可以用笛卡爾座標系中的圖來表示。這個函式是連續的如果，粗略地說，它的圖為一個單一的不破的曲線，並且沒有空洞和跳躍（如果可以用手單筆畫成（鉛筆不離開紙張））。
精確地說，我們說函式f
在某個點c
處是連續的當以下的兩個條件滿足：
f(c)
必須是可定義的（即，c
必須是函式f
的定義域中的元）。
如果c是定義域中的一個聚點，則x
接近c時f(x)
的極限存在且等於f(c)。
我們稱函式到處連續或處處連續，或者簡單的連續，如果它在其定義域中的任意點處都連續。更一般地，我們說一個函式在它定義域的子集上是連續的當它在這個子集的每一點處都連續。
2樓：於蕾騰念
1導數簡單的講就是
函式圖象上每一點切線的斜率（如果有切線的話），導數也叫微商dy/dx
2函式若在其定義域內處處可導，那麼這種函式就叫連續函式，所有的初等函式在其定義域內都是連續的。連續函式其直觀上講，就是函式的圖象是光滑的，不是折線段或者斷裂等
請問函式在某點導數連續到底是什麼意思？ 5
3樓：心飛翔
一個函式在某一點有連續的導數，意思是說明導數不一定相等。可導必然連續，但是連續不一定可導。
函式連續性是要證明這個點處的值，和它的左極限及右極限的值相等，可導性是要證明這個點處函式連續，並且左導數和右導數存在，且相等。
函式連續與導數連續的區別是什麼?
4樓：匿名使用者
可導,導數不一定連續
導數連續,函式一定可導
連續不一定可導，比如函式y=│x│在回x=0處連續，但不可導；
但一個函式要想在一個點處可導，就必須要在此處連續。
連續函答數的導函式不一定連續 f(x)=x^2*sin(1/x),(x≠0時)，f(0)=0.
f′(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x),(x≠0時)，f′(0)=0.
f′(x)在x=0不連續。
5樓：皮皮鬼
1連續不一定可導
2可導一定連續
3 連續是可導的前提。
6樓：鵝鵝鵝燒鵝
函式連續是此函式的影象是連續的曲線，沒有間斷點
導函式連續是此函式的影象是光滑的，沒有尖點
函式連續性的定義是什麼？如何判定一個函式是連續的？
7樓：匿名使用者
1.函式連續性的定義:
設函式f(x)在點x0的某個鄰域內有定義,若 lim(x→x0)f(x)=f(x0), 則稱f(x)在點x0處連續。
若函式f(x)在區間i的每一點都連續,則稱f(x)在區間i上連續。
2.函式連續必須同時滿足三個條件：
（1）函式在x0 處有定義；
（2）x-> x0時，limf(x)存在；
（3）x-> x0時，limf(x)=f(x0)。
則初等函式在其定義域內是連續的。
擴充套件資料
間斷點的定義：
間斷點是指：在非連續函式y=f(x)中某點處xo處有中斷現象，那麼，xo就稱為函式的不連續點。
間斷點可以分為無窮間斷點和非無窮間斷點，在非無窮間斷點中，還分可去間斷點和跳躍間斷點。如果極限存在就是可去間斷點，不存在就是跳躍間斷點。
1.可去間斷點：函式在該點左極限、右極限存在且相等，但不等於該點函式值或函式在該點無定義。如函式y=（x^2-1)/(x-1)在點x=1處。
2.跳躍間斷點：函式在該點左極限、右極限存在，但不相等。如函式y=|x|/x在點x=0處。
3.無窮間斷點：函式在該點可以無定義，且左極限、右極限至少有一個不存在，且函式在該點極限為∞。如函式y=tanx在點x=π/2處。
4.振盪間斷點：函式在該點可以無定義，當自變數趨於該點時，函式值在兩個常數間變動無限多次。如函式y=sin(1/x)在x=0處。
可去間斷點和跳躍間斷點稱為第一類間斷點，也叫有限型間斷點。其它間斷點稱為第二類間斷點。
8樓：匿名使用者
一群水貨！回答問題不是複製來的就是表達不清楚，表達不全的。我來教你！好好看，看懂你連續這塊你就再不會出問題了
連續的定義：一個f（x）的極限，x從左側趨近x0等於f（x0），x從右側趨近x0也等於f（x0），那麼就說函式f（x）在x0這一點連續。簡單吧？
樓上說得是什麼嘛！放屁都比他們說得香！再看判定：
連續的判定：一般用兩種方法判定。
第一種、用定義，如果這一點左邊的極限等於右邊的極限且等於這一點的函式值，則函式在這一點連續。
第二種、求導，如果x0這一點可導，那麼這一點必連續，可導必連續記住哦~很重要的！可導必連續，但是連續未必可導，舉個例子，|x|在x=0這一點不可導，但是連續，你自己畫影象看看，影象是一個英文字母v，因為左導數和右導數都存在但不相等，所以|x|不可導。可導的條件是什麼你記得不？
我還是說一下吧，一點的左導數和右導數都存在且相等，則這一點可導。
那咋辦勒？那不可導又該怎麼證連續呢？上述樓層這一點就沒有說，只告訴你可導就連續，沒告訴你不可導也連續的情況。
如果函式不可導，但是！！！看清楚了，劃重點了，他的左導數和右導數都存在，哪怕左導數不等於右導數，那麼在這一點它也是連續的。這你可能就不太理解了，給你說個情景你就懂了，從一個點出發（連著這個點的哈）然後有一條不斷開的毛線連著向左邊除了垂直向上延伸以外，隨便怎麼向左延伸只要毛線不斷開就行，然後繼續從這一點出發，有一條不斷開的毛線連著向右邊除了垂直向上延伸以外隨便怎麼向右延伸，這兩條毛線左邊是連著的，右邊也是連著的，還都不是垂直於x軸的（左導數和右導數都存在），而且還都連著這一個點，那這兩條毛線在這一點左邊連續，右邊也連續還都連著這個點，可不就是一條毛線嘛。
所以這一點連續！~
關於這一條可能很多人會在分段函式的跳躍間斷點處有疑問，比如f（x）在x>0時等於1，在x<0時等於-1，然後就有人會說在0這一點左邊連續右邊也連續但是是間斷點在0這一點不連續啊，你要知道這種情況確實是左連續而且有連續但是它要麼x>0時要麼x<0時不連著這一點啊，換句話說這種情況這一點的左導數等於正無窮也就是左導數不存在，右導數等於負無窮(f（x）它要向下去找-1嘛能看懂不？）也就是右導數不存在。已經和第二種連續判定法沒關係了。
9樓：莫小賢
在定義域內，函式是連續的，是在每個自變數的地方都有極限，並且等於函式值
10樓：匿名使用者
函式在點x處的極限等於該點的函式值，那麼函式在該點就是連續的。如果x是定義域內任意點，那函式就是連續的。
判定函式連續求導就可以，如果可導就肯定連續。
最好是那具體的題目理解一下。
11樓：royal未煊
所謂連續，有兩種定義方法：
1.設f（
x）在點xo的某鄰域內有定義，若
lim△y（△x→0）＝lim［f（xo+△x）－f（xo）］xo=0 （△x→0）
則稱函式f（x）在點xo連續，點xo稱為f（x）的連續點。
2.設函式在點xo的某一鄰域內有定義，且有limf（x）＝f（xo） （x→xo），則稱函式f（x）在點xo處連續。
12樓：➢竹椅聽風獨呢喃
我在北航學工科，我們學的各種定義（主要說大一上學的那些）主要是用ε-δ語言說明的，然後連續的話是說，對於任意的ε>0，都存在相應的δ，使得當lx-x0l<δ時，就有l fx-fx0 l＜ε，則fx在x0處連續。
通俗點講就是，當x變化的無限小時，fx也變的無限小，即δx→0，δfx→0，所以這就也說明了為什麼y=1/x在（0,1）上連續但不一致連續，因為連續是對於一個確定的x0，那麼該點的變化率確定，而一致連續則不依賴於x0，所以可以無限趨近於0，從而變化率可以趨近於無窮（注意區分無窮跟極大的區別，10^10000000叫極大但不無窮大）。
13樓：匿名使用者
函式連續性的定義
定義1 設函式在點x0的領域內有定義,若:
(1)極限 存在
(2)極限值滿足:
稱函式f(x)在x0點連續.
根據這個定義來判斷函式的連續性
14樓：匿名使用者
lim(x→x0)f(x)=f(x0)則連續，否則不連續
導函式的連續性和函式的連續性有什麼關係？？ 如果一個函式的導函式存在，但是不知道導函式
15樓：匿名使用者
導函式存在，原函式不一定連續。原函式連續，導函式不一定連續~情況都不大一樣
16樓：匿名使用者
關於函式的導數和連續有比較經典的四句話：
1、連續的函式不一定可導。
2、可導的函式是連續的函式。
3、越是高階可導函式曲線越是光滑。
4、存在處處連續但處處不可導的函式。（威爾斯特拉斯構造出第一個這樣的函式。）
對於這個問題：函式連續，導函式存在則連續
17樓：匿名使用者
導函式存在，原函式一定連續。
因為(x→x0)lim [f(x)-f(x0)]/(x-x0)存在則只可能為0/0的不定型，否則極限不存在
所以必有(x→x0)lim [f(x)-f(x0)]=0即(x→x0)，lim f(x)=lim f(x0)反之，已知lim f(x)=lim f(x0)，無法推出(x→x0)lim [f(x)-f(x0)]/(x-x0)=0
所以導函式存在，原函式一定連續。函式連續卻不一定可導。
導函式自身不一定連續。比如
f(x)=x^2cos(1/x) (x≠0)f(x)=0 (x=0)
x=0處的導數為(x→0)lim x^2cos(1/x)/x=0然而x≠0，f'(x)=2xcos(1/x)+sin(1/x)(x→0)lm [2xcos(1/x)+sin(1/x)]不存在，故導數不連續
導函式連續的函式稱為光滑函式（曲線是漸變的，沒有突變）。
總之，可導是連續的充分不必要條件。
如何討論函式的連續性，討論函式的連續性，一般如何下手
確切說來，函式在某點連續是指 當自變數趨於該點時，函式值的極限與函式在該點所取的值一致。函式的連續性，描述函式的一種連綿不斷變化的狀態，即自變數的微小變動只會引起函式值的微小變動的情況。連續函式的性質 如f x g x 都在x 處連續，則f x g x f x g x 只要 g 0 也在 x 處 連...
函式的連續性y f x0 x f x
圖中的f x0 和f x 反了，怪不得你看不懂因為f x0 表示x座標是x0,f x 表示x座標是x圖上所示 y即為點 x,f x 和 x,f x0 之間的距離因為兩個點x左標相同 所以距離就是y座標相減 即 y f x f x0 1 而你發現點 x0,f x0 到點 x,f x0 的距離是 x而兩...
函式可導與其連續性的關係，證明 函式的可導性與連續性的關係
呼呼很冷 tregzhao 你在我的提問裡說我找抽。我的問題你可以不回答，但不要損人，尊重別人就是尊重自己。你難道是他們產品的推銷員，真沒法說你了，素質低的沒法說了 我用手機上的，沒法給你發訊息，只能這樣告訴你對不起，打擾樓主了！ 張長遠林月明 我告訴你啊連續不一定可導的，但可導一定連續的，不過這是...