線性無關等價於gram行列式不等於0?怎麼證明

時間 2021-08-11 17:38:48

1樓:上海皮皮龜

如果有n個n維的向量,則它們線性無關的充要條件即以這些向量為列組成的行列式不等於0.

證明:設a1,a2, ...,an是滿足上述條件的n個向量。

如它們線性相關,則有不全等於0的n個數:x1,x2,...,xn,使x1a1+x2a2+...

+xnan=0

這意味著由這些向量組成的矩陣a,滿足ax=0:其中x=(x1,x2,...,xn)t

意味該方程組有非零解,與a的行列式|a|不等於0矛盾。

反之也真。

學習高等數學對高中競賽有幫助麼?

2樓:匿名使用者

高等數學裡面分為:微積分、線性代數與解析幾何、概率論與數理統計。 如果是數學系的,主要是分析學、代數學、幾何學。

你說的高中(包括競賽的)代數是高等數學的基礎,各個分支都要用到。大學裡說的代數根高中的代數完全不是一回事。大學裡的代數研究的是代數結構,是研究集合及其定義的運算的,比如群環域等,具體可以看大學的線性代數、高等代數、近世代數等等。

專門研究數論要到研究生階段,而且是基礎數學專業,而數論又分為代數數論、解析數論等等,中國比較強的是解析數論,陳景潤搞的那個1+2就是解析數論,主要是通過微積分方法研究數論。而代數數論主要是用代數方法研究數論的,就是我前面說到的。 平面幾何是沒有的,因為平面幾何裡面所有的問題都可用解析幾何、三角方法、計算機程式設計或者其它方法解決,沒有什麼遺留的問題,所以不去研究了。

但是幾何學是有的,主要是多維解析幾何(也就是線性代數,這是因為高維解析幾何抽象化了就是代數)、拓撲等等。 至於組合數學,應該說是代數的後續學科,本科階段也不作太多要求,要想研究的話也是研究生的內容了。圖論實際上是組合數學和拓撲結合起來的,也是研究生內容。

你可能要問本科階段學什麼,其實就是想研究你說的內容所必需的基本知識,比如微積分什麼的,整個大學以上的數學都是成為一個體系的,不想高中以前是零零散散的,左講一點,又說一點,比較零亂。要想系統研究你說的那些內容,就必須掌握本科的數學內容。另外,研究根競賽不一樣,研究是要花大量時間去思考的,而競賽就是那幾個小時的事情,因此如果要研究數學,你不可能像搞競賽一樣幾乎所有的分支都去準備,你只能研究其中很少的一部分,畢竟數學這東西到後面東西太多了,這就是為什麼你說的那些基本都是研究生的東西。

學習高等數學需要什麼高中基礎?

3樓:飄飄記

基礎知識儘量都學紮實的好。主要需要以下基礎:

1、導數和函式、複變函式與積分。

2、導數和函式要學好,這部分到大學還會進一步學習,大學微積分的學習,跟高中聯絡最緊密的就是函式導數和極限部分,這部分應該學好,空間幾何也用到一些。

3、複變函式與積分的學習,與高中的複數有一點關係,高中學的是基礎定義和部分應用,到大學會把微積分聯絡在一起深入學習,所以,學好複數部分對以後更好的學習有不少幫助。

高等數學指相對於初等數學而言,數學的物件及方法較為繁雜的一部分。

廣義地說,初等數學之外的數學都是高等數學,也有將中學較深入的代數、幾何以及簡單的集合論初步、邏輯初步稱為中等數學的,將其作為中小學階段的初等數學與大學階段的高等數學的過渡。

通常認為,高等數學是由微積分學,較深入的代數學、幾何學以及它們之間的交叉內容所形成的一門基礎學科。主要內容包括:極限、微積分、空間解析幾何與線性代數、級數、常微分方程。

導數和函式要學好,這部分到大學還會進一步學習,大學微積分的學習,跟高中聯絡最緊密的就是函式導數和極限部分,這部分應該學好,空間幾何也用到一些。

指相對於初等數學而言,數學的物件及方法較為繁雜的一部分。廣義地說,初等數學之外的數學都是高等數學,也有將中學較深入的代數。

幾何以及簡單的集合論初步、邏輯初步稱為中等數學的,將其作為中小學階段的初等數學與大學階段的高等數學的過渡。

通常認為,高等數學是由微積分學,較深入的代數學、幾何學以及它們之間的交叉內容所形成的一門基礎學科。

主要內容包括:極限、微積分、空間解析幾何與線性代數、級數、常微分方程。工科、理科研究生考試的基礎科目。

4樓:河傳楊穎

1、導數和函式、複變函式與積分、概率論、線性代數。

2、複變函式與積分的學習,與高中的複數有一點關係,高中學的是基礎定義和部分應用,到大學會把微積分聯絡在一起深入學習,所以,學好複數部分對以後更好的學習有不少幫助。

3、概率論的學習,不再像高中是學習排和組合,當然學好這部分的概率和期望對以後理解很有幫助,概率論更多的是學習其他概率分佈模型。

4、線性代數的學習,是一門工程數學,解方程n元一次組,n維相量、矩陣等等,實際中應用廣泛,好好理解下相量空間,這門學科跟以前聯絡不多,好好學一定會學好的。

在中國理工科各類專業的學生(數學專業除外,數學專業學數學分析),學的數學較難,課本常稱“高等數學”;文史科各類專業的學生,學的數學稍微淺一些,課本常稱“微積分”。

理工科的不同專業,文史科的不同專業,深淺程度又各不相同。研究變數的是高等數學,可高等數學並不只研究變數。至於與“高等數學”相伴的課程通常有:

線性代數(數學專業學高等代數),概率論與數理統計(有些數學專業分開學)。

數學的計算性方面。在初等數學中甚至佔了主導的地位。它在高等數學中的地位也是明顯的,高等數學除了有很多理論性很強的學科之外,也有一大批計算性很強的學科,如微分方程、計算數學、統計學等。

在高度抽象的理論裝備下,這些學科才有可能處理現代科學技術中的複雜計算問題。

最基本的極限過程是數列和函式的極限。數學分析以它為基礎,建立了刻畫函式區域性和總體特徵的各種概念和有關理論,初步成功地描述了現實世界中的非均勻變化和運動。另外一些形式上更為抽象的極限過程,在別的數學學科中也都起著基本的作用。

還有許多學科的研究物件本身就是無窮多的個體,也就說是無窮集合,例如群、環、域之類及各種抽象空間。

5樓:百度使用者

基礎知識儘量都學紮實的好。

⒈導數和函式要學好,這部分到大學還會進一步學習,大學微積分的學習,跟高中聯絡最緊密的就是函式導數和極限部分,這部分應該學好,空間幾何也用到一些。

⒉複變函式與積分的學習,與高中的複數有一點關係,高中學的是基礎定義和部分應用,到大學會把微積分聯絡在一起深入學習,所以,學好複數部分對以後更好的學習有不少幫助。

⒊概率論的學習,不再像高中是學習排和組合,當然學好這部分的概率和期望對以後理解很有幫助,概率論更多的是學習其他概率分佈模型。

⒋線性代數的學習,是一門工程數學,解方程n元一次組,n維相量、矩陣等等,實際中應用廣泛,好好理解下相量空間,這門學科跟以前聯絡不多,好好學一定會學好的。

總之,好學基礎知識,對你的深造學習很有幫助;專業不同,可能學的學科數學也有少許不同,不過不管怎樣,學好基礎知識不是件壞事,更多的體驗還要等你到了大學才能更好地感受。呵呵,希望對你有所幫助。

6樓:匿名使用者

基本不等式知識,函式知識,三角函式公式等等,說實話高等數學和高中數學差別很大,高中的知識也基本難以運用到高等數學上,基本上是不需要什麼基礎的,進入大學學高數大家相當於都是零基礎開始

7樓:我是一頭豬

數學,重要的是思想。

然而,高中數學給予了我們必要的初等數學的知識,如導數,將來發展極限

如將來的空間解析幾何

哪怕是最簡單的集合,將來也為數論做了一定的基礎。

高中數學書上公式所給的推導充滿了數學思想,很重要。

大學數學,或者叫高數,離不開最基礎的。

大學裡面高等數學都學的什麼啊

8樓:薔祀

在中國理工科各類專業的學生(數學專業除外,數學專業學數學分析),學的數學較難,課本常稱“高等數學”;文史科各類專業的學生,學的數學稍微淺一些,課本常稱“微積分”。

理工科的不同專業,文史科的不同專業,深淺程度又各不相同。研究變數的是高等數學,可高等數學並不只研究變數。至於與“高等數學”相伴的課程通常有:

線性代數(數學專業學高等代數),概率論與數理統計(有些數學專業分開學)。

微積分的基本概念和內容包括微分學和積分學。

微分學的主要內容包括:極限理論、導數、微分等。

積分學的主要內容包括:定積分、不定積分等。

從廣義上說,數學分析包括微積分、函式論等許多分支學科,但是現在一般已習慣於把數學分析和微積分等同起來,數學分析成了微積分的同義詞,一提數學分析就知道是指微積分。

數理統計是伴隨著概率論的發展而發展起來的一個數學分支,研究如何有效的收集、整理和分析受隨機因素影響的資料,並對所考慮的問題作出推斷或**,為採取某種決策和行動提供依據或建議。

概率論是研究隨機現象數量規律的數學分支。隨機現象是相對於決定性現象而言的。在一定條件下必然發生某一結果的現象稱為決定性現象。

例如在標準大氣壓下,純水加熱到100℃時水必然會沸騰等。隨機現象則是指在基本條件不變的情況下,每一次試驗或觀察前,不能肯定會出現哪種結果,呈現出偶然性。例如,擲一硬幣,可能出現正面或反面。

隨機現象的實現和對它的觀察稱為隨機試驗。隨機試驗的每一可能結果稱為一個基本事件,一個或一組基本事件統稱隨機事件,或簡稱事件。典型的隨機試驗有擲骰子、扔硬幣、抽撲克牌以及輪盤遊戲等。

線性代數是數學的一個分支,它的研究物件是向量,向量空間(或稱線性空間),線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現代數學的一個重要課題。

因而,線性代數被廣泛地應用於抽象代數和泛函分析中;通過解析幾何,線性代數得以被具體表示。線性代數的理論已被泛化為運算元理論。由於科學研究中的非線性模型通常可以被近似為線性模型,使得線性代數被廣泛地應用於自然科學和社會科學中。

擴充套件資料

19世紀以前確立的幾何、代數、分析三大數學分支中,前兩個都原是初等數學的分支,其後又發展了屬於高等數學的部分,而只有分析從一開始就屬於高等數學。分析的基礎——微積分被認為是“變數的數學”的開始,因此,研究變數是高等數學的特徵之一。

原始的變數概念是物質世界變化的諸量的直接抽象,現代數學中變數的概念包含了更高層次的抽象。如數學分析中研究的限於實變數,而其他數學分支所研究的還有取複數值的復變數和向量、張量形式的。

以及各種幾何量、代數量,還有取值具有偶然性的隨機變數、模糊變數和變化的(概率)空間——範疇和隨機過程。描述變數間依賴關係的概念由函式發展到泛函、變換以至於函子。

與初等數學一樣,高等數學也研究空間形式,只不過它具有更高層次的抽象性,並反映變化的特徵,或者說是在變化中研究它。例如,曲線、曲面的概念已發展成一般的流形。

按照埃爾朗根綱領,幾何是關於圖形在某種變換群下不變性質的理論,這也就是說,幾何是將各種空間形式置於變換之下來來研究的。

無窮進入數學,這是高等數學的又一特徵。現實世界的各種事物都以有限的形式出現,無窮是對他們的共同本質的一種概括。所以,無窮進入數學是數學高度理論化、抽象化的反映。

數學中的無窮以潛無窮和實無窮兩種形式出現。

在極限過程中,變數的變化是無止境的,屬於潛無窮的形式。而極限值的存在又反映了實無窮過程。最基本的極限過程是數列和函式的極限。

數學分析以它為基礎,建立了刻畫函式區域性和總體特徵的各種概念和有關理論,初步成功地描述了現實世界中的非均勻變化和運動。

另外一些形式上更為抽象的極限過程,在別的數學學科中也都起著基本的作用。還有許多學科的研究物件本身就是無窮多的個體,也就說是無窮集合,例如群、環、域之類及各種抽象空間。這是數學中的實無窮。

能夠處理這類無窮集合,是數學水平與能力提高的表現。

為了處理這類無窮集合,數學中引進了各種結構,如代數結構、序結構和拓撲結構。另外還有一種度量結構,如抽象空間中的範數、距離和測度等,它使得個體之間的關係定量化、數字化,成為數學的定性描述和定量計算兩方面的橋樑。上述結構使得這些無窮集合具有豐富的內涵,能夠彼此區分,並由此形成了眾多的數學學科。

數學的計算性方面。在初等數學中甚至佔了主導的地位。它在高等數學中的地位也是明顯的,高等數學除了有很多理論性很強的學科之外,也有一大批計算性很強的學科,如微分方程、計算數學、統計學等。

在高度抽象的理論裝備下,這些學科才有可能處理現代科學技術中的複雜計算問題。

參考資料

線性代數行列式問題,線性代數行列式問題為什麼

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