1樓：熱戀
一個關於實數離散傅立葉變換(real dft)例項
先來看一個變換例項，一個原始訊號的長度是16，於是可以把這個訊號分解9個餘弦波和9個正弦波（一個長度為n的訊號可以分解成n/2+1個正餘弦訊號，這是為什麼呢？結合下面的18個正餘弦圖,我想從計算機處理精度上就不難理解，一個長度為n的訊號，最多只能有n/2+1個不同頻率，再多的頻率就超過了計算機所能所處理的精度範圍），如下圖：
9個正弦訊號：
9個餘弦訊號：
把以上所有訊號相加即可得到原始訊號，至於是怎麼分別變換出9種不同頻率訊號的，我們先不急，先看看對於以上的變換結果，在程式中又是該怎麼表示的，我們可以看看下面這個示例圖：
上圖中左邊表示時域中的訊號，右邊是頻域訊號表示方法，從左向右表示正向轉換(forward dft)，從右向左表示逆向轉換(inverse dft)，用小寫x表示訊號在每個時間點上的幅度值陣列, 用大寫x表示每種頻率的幅度值陣列, 因為有n/2+1種頻率，所以該陣列長度為n/2+1，x陣列又分兩種，一種是表示餘弦波的不同頻率幅度值：re x，另一種是表示正弦波的不同頻率幅度值：im x，re是實數(real)的意思，im是虛數(imagine)的意思，採用複數的表示方法把正餘弦波組合起來進行表示，但這裡我們不考慮複數的其它作用，只記住是一種組合方法而已，目的是為了便於表達（在後面我們會知道，複數形式的傅立葉變換長度是n，而不是n/2+1）。
用matlab進行傅立葉變換
fft是離散傅立葉變換的快速演算法，可以將一個訊號變換到頻域。有些訊號在時域上是很難看出什麼特徵的，但是如果變換到頻域之後，就很容易看出特徵了。這就是很多訊號分析採用fft變換的原因。
另外，fft可以將一個訊號的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經常用的。
fft結果的具體物理意義。一個模擬訊號，經過adc取樣之後，就變成了數字訊號。取樣定理告訴我們，取樣頻率要大於訊號頻率的兩倍。
取樣得到的數字訊號，就可以做fft變換了。n個取樣點，經過fft之後，就可以得到n個點的fft結果。為了方便進行fft運算，通常n取2的整數次方。
假設取樣頻率為fs，訊號頻率f，取樣點數為n。那麼fft之後結果就是一個為n點的複數。每一個點就對應著一個頻率點。
這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始訊號的幅度有什麼關係呢？假設原始訊號的峰值為a，那麼fft的結果的每個點（除了第一個點直流分量之外）的模值就是a的n/2倍。
而第一個點就是直流分量，它的模值就是直流分量的n倍。而每個點的相位呢，就是在該頻率下的訊號的相位。第一個點表示直流分量（即0hz），而最後一個點n的再下一個點（實際上這個點是不存在的，這裡是假設的第n+1個點，也可以看做是將第一個點分做兩半分，另一半移到最後）則表示取樣頻率fs，這中間被n-1個點平均分成n等份，每個點的頻率依次增加。
例如某點n所表示的頻率為：fn=(n-1)*fs/n。由上面的公式可以看出，fn所能分辨到頻率為為fs/n，如果取樣頻率fs為1024hz，取樣點數為1024點，則可以分辨到1hz。
1024hz的取樣率取樣1024點，剛好是1秒，也就是說，取樣1秒時間的訊號並做fft，則結果可以分析到1hz，如果取樣2秒時間的訊號並做fft，則結果可以分析到0.5hz。如果要提高頻率分辨力，則必須增加取樣點數，也即取樣時間。
頻率解析度和取樣時間是倒數關係。
假設fft之後某點n用複數a+bi表示，那麼這個複數的模就是an=根號a*a+b*b，相位就是pn=atan2(b,a)。根據以上的結果，就可以計算出n點（n≠1，且n<=n/2）對應的訊號的表示式為：an/(n/2)*cos(2*pi*fn*t+pn)，即2*an/n*cos(2*pi*fn*t+pn)。
對於n=1點的訊號，是直流分量，幅度即為a1/n。由於fft結果的對稱性，通常我們只使用前半部分的結果，即小於取樣頻率一半的結果。
下面以一個實際的訊號來做說明。假設我們有一個訊號，它含有2v的直流分量，頻率為50hz、相位為-30度、幅度為3v的交流訊號，以及一個頻率為75hz、相位為90度、幅度為1.5v的交流訊號。
用數學表示式就是如下：s=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。
式中cos引數為弧度，所以-30度和90度要分別換算成弧度。我們以256hz的取樣率對這個訊號進行取樣，總共取樣256點。按照我們上面的分析，fn=(n-1)*fs/n，我們可以知道，每兩個點之間的間距就是1hz，第n個點的頻率就是n-1。
我們的訊號有3個頻率：0hz、50hz、75hz，應該分別在第1個點、第51個點、第76個點上出現峰值，其它各點應該接近0。實際情況如何呢？
我們來看看fft的結果的模值如圖所示。
從圖中我們可以看到，在第1點、第51點、和第76點附近有比較大的值。我們分別將這三個點附近的資料拿上來細看：
1點： 512+0i
2點： -2.6195e-14 - 1.4162e-13i
3點： -2.8586e-14 - 1.1898e-13i
50點：-6.2076e-13 - 2.1713e-12i
51點：332.55 - 192i
52點：-1.6707e-12 - 1.5241e-12i
75點：-2.2199e-13 -1.0076e-12i
76點：3.4315e-12 + 192i
77點：-3.0263e-14 +7.5609e-13i
很明顯，1點、51點、76點的值都比較大，它附近的點值都很小，可以認為是0，即在那些頻率點上的訊號幅度為0。接著，我們來計算各點的幅度值。分別計算這三個點的模值，結果如下：
1點： 512
51點：384
76點：192
按照公式，可以計算出直流分量為：512/n=512/256=2；50hz訊號的幅度為：384/(n/2)=384/(256/2)=3；75hz訊號的幅度為192/(n/2)=192/(256/2)=1.
5。可見，從頻譜分析出來的幅度是正確的。
然後再來計算相位資訊。直流訊號沒有相位可言，不用管它。先計算50hz訊號的相位，atan2(-192, 332.
55)=-0.5236,結果是弧度，換算為角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.
0001。再計算75hz訊號的相位，atan2(192, 3.4315e-12)=1.
5708弧度，換算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。
可見，相位也是對的。根據fft結果以及上面的分析計算，我們就可以寫出訊號的表示式了，它就是我們開始提供的訊號。
總結：假設取樣頻率為fs，取樣點數為n，做fft之後，某一點n（n從1開始）表示的頻率為：fn=(n-1)*fs/n；該點的模值除以n/2就是對應該頻率下的訊號的幅度（對於直流訊號是除以n）；該點的相位即是對應該頻率下的訊號的相位。
相位的計算可用函式atan2(b,a)計算。atan2(b,a)是求座標為(a,b)點的角度值，範圍從-pi到pi。要精確到xhz，則需要取樣長度為1/x秒的訊號，並做fft。
要提高頻率解析度，就需要增加取樣點數，這在一些實際的應用中是不現實的，需要在較短的時間內完成分析。解決這個問題的方法有頻率細分法，比較簡單的方法是取樣比較短時間的訊號，然後在後面補充一定數量的0，使其長度達到需要的點數，再做fft，這在一定程度上能夠提高頻率分辨力。具體的頻率細分法可參考相關文獻。
2樓：pythonx檔案
opencv計算機視覺14(傅立葉變換)
傅立葉變換是用來做什麼的，具體舉例一下應用？
3樓：喵喵喵
本質上講，傅立葉變換，是把一個複雜事物，拆解成一堆標準化的簡單事物的方法。拿聲音舉例，我們知道聲音是物體振動發出的，它是一種波，通過空氣或其他介質進行傳播。
如果用聲波記錄儀記錄並顯示這些波的振動形式，會發現生活中的絕大部分的聲音是都是非常複雜甚至雜亂無章的。
擴充套件資料
根據原訊號的不同型別，我們可以把傅立葉變換分為四種類別：
1、非週期性連續訊號傅立葉變換（fourier transform）
2、週期性連續訊號傅立葉級數(fourier series)
3、非週期性離散訊號離散時域傅立葉變換（discrete time fourier transform）
4、週期性離散訊號離散傅立葉變換(discrete fourier transform)
4樓：七情
我通訊的 可以給你通俗的說一下 傅立葉變換。舉個例子先，你看一場nba比賽咋看？直接看直播不是；但是另外一種情況，我們還看這些東西，比如那些統計資料，得分，籃板，助攻，蓋帽啥的。
其實這些統計資料相當於從另外一種方法詮釋了這場比賽。同理，對一個訊號，我們一般看到的僅僅是它的時域波形，但在很多情況下，僅僅瞭解時域波形不足以瞭解這個函式的全部資訊，因而我們需要從另外一個維度去看這個訊號。傅立葉變換就是從頻域看這個訊號。
而時域和頻域轉化的落腳點就是那兩個經典的公式。舉個經典的例子，函式f=cos(2πt)，時域影象，就是一個餘弦，你能從函式影象直接看到啥？最大值最小值 週期。。。
再看他的傅立葉變換後的函式影象，僅僅是兩個尖脈衝，這兩個脈衝只在特定的頻率處有值。我們從中可以明確看到這個函式的頻率資訊。對於複雜的訊號，更是如此。
簡單應用，濾波。。。舉個簡單例子，假如有兩個訊號f=cos(2πt)和f=cos(2000πt)，但是現在兩個訊號混疊在一起，我們要把他們分離。對他們各自進行傅立葉變換後。
很明顯兩個訊號在頻域特徵特別容易分離，我們依據這個，適當採用濾波器。就能進行分離。複雜訊號也是如此。
說的有點囉嗦了。。。。
傅立葉變換後的縱座標單位是什麼，傅立葉變換後的縱座標單位是什麼？
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