此非齊次微分方程的特解怎麼求,微分方程的特解怎麼求

時間 2021-09-16 02:27:36

1樓:安貞星

二次非齊次微分方程的一般解法

一般式是這樣的ay''+by'+cy=f(x)

第一步:求特徵根

令ar²+br+c=0,解得r1和r2兩個值,(這裡可以是複數,例如(βi)²=-β²)

第二步:通解

1、若r1≠r2,則y=c1*e^(r1*x)+c2*e^(r2*x)

2、若r1=r2,則y=(c1+c2x)*e^(r1*x)

3、若r1,2=α±βi,則y=e^(αx)*(c1cosβx+c2sinβx)

第三步:特解

f(x)的形式是e^(λx)*p(x)型,(注:p(x)是關於x的多項式,且λ經常為0)

則y*=x^k*q(x)*e^(λx) (注:q(x)是和p(x)同樣形式的多項式,例如p(x)是x²+2x,則設q(x)為ax²+bx+c,abc都是待定係數)

1、若λ不是特徵根 k=0 y*=q(x)*e^(λx)

2、若λ是單根 k=1 y*=x*q(x)*e^(λx)

3、若λ是二重根 k=2 y*=x²*q(x)*e^(λx)(注:二重根就是上面解出r1=r2=λ)

f(x)的形式是e^(λx)*p(x)cosβx或e^(λx)*p(x)sinβx

1、若α+βi不是特徵根,y*=e^λx*q(x)(acosβx+bsinβx)

2、若α+βi是特徵根,y*=e^λx*x*q(x)(acosβx+bsinβx)(注:ab都是待定係數)

第四步:解特解係數

把特解的y*'',y*',y*都解出來帶回原方程,對照係數解出待定係數。

最後結果就是y=通解+特解。

通解的係數c1,c2是任意常數。

拓展資料:

微分方程

微分方程指描述未知函式的導數與自變數之間的關係的方程。微分方程的解是一個符合方程的函式。而在初等數學的代數方程,其解是常數值。

高數常用微分表

唯一性存在定一微 分程及約束條件,判斷其解是否存在。唯一性是指在上述條件下,是否只存在一個解。針對常微分方程的初值問題,皮亞諾存在性定理可判別解的存在性,柯西-利普希茨定理則可以判別解的存在性及唯一性。

針對偏微分方程,柯西-克瓦列夫斯基定理可以判別解的存在性及唯一性。 皮亞諾存在性定理可以判斷常微分方程初值問題的解是否存在。

2樓:王鳳霞醫生

設非齊次方程為

any^(n)+a(n-1)y^(n-1)+...+a1y'+a0y=p(x)

其兩個特解為y1,y2

所以any1^(n)+a(n-1)y1^(n-1)+...+a1y1'+a0y1=p(x)

any2^(n)+a(n-1)y2^(n-1)+...+a1y2'+a0y2=p(x)

兩式相減,得

an[y1^(n)-y2^(n)]+a(n-1)[y1^(n-1)-y2^(n-1)]+...+a1(y1'-y2')+a0(y1-y2)=0

即an(y1-y2)^(n)+a(n-1)(y1-y2)^(n-1)+...+a1(y1-y2)'+a0(y1-y2)=0

令y=y1-y2

即any^(n)+a(n-1)y^(n-1)+...+a1y'+a0y=0

所以y是對應齊次方程的解

微分方程的特解怎麼求

3樓:安貞星

二次非齊次微分方程的一般解法

一般式是這樣的ay''+by'+cy=f(x)

第一步:求特徵根

令ar²+br+c=0,解得r1和r2兩個值,(這裡可以是複數,例如(βi)²=-β²)

第二步:通解

1、若r1≠r2,則y=c1*e^(r1*x)+c2*e^(r2*x)

2、若r1=r2,則y=(c1+c2x)*e^(r1*x)

3、若r1,2=α±βi,則y=e^(αx)*(c1cosβx+c2sinβx)

第三步:特解

f(x)的形式是e^(λx)*p(x)型,(注:p(x)是關於x的多項式,且λ經常為0)

則y*=x^k*q(x)*e^(λx) (注:q(x)是和p(x)同樣形式的多項式,例如p(x)是x²+2x,則設q(x)為ax²+bx+c,abc都是待定係數)

1、若λ不是特徵根 k=0 y*=q(x)*e^(λx)

2、若λ是單根 k=1 y*=x*q(x)*e^(λx)

3、若λ是二重根 k=2 y*=x²*q(x)*e^(λx)(注:二重根就是上面解出r1=r2=λ)

f(x)的形式是e^(λx)*p(x)cosβx或e^(λx)*p(x)sinβx

1、若α+βi不是特徵根,y*=e^λx*q(x)(acosβx+bsinβx)

2、若α+βi是特徵根,y*=e^λx*x*q(x)(acosβx+bsinβx)(注:ab都是待定係數)

第四步:解特解係數

把特解的y*'',y*',y*都解出來帶回原方程,對照係數解出待定係數。

最後結果就是y=通解+特解。

通解的係數c1,c2是任意常數。

拓展資料:

微分方程

微分方程指描述未知函式的導數與自變數之間的關係的方程。微分方程的解是一個符合方程的函式。而在初等數學的代數方程,其解是常數值。

高數常用微分表

唯一性存在定一微 分程及約束條件,判斷其解是否存在。唯一性是指在上述條件下,是否只存在一個解。針對常微分方程的初值問題,皮亞諾存在性定理可判別解的存在性,柯西-利普希茨定理則可以判別解的存在性及唯一性。

針對偏微分方程,柯西-克瓦列夫斯基定理可以判別解的存在性及唯一性。 皮亞諾存在性定理可以判斷常微分方程初值問題的解是否存在。

4樓:匿名使用者

微分方程的特解步驟如下:

一個二階常係數非齊次線性微分方程,首先判斷出是什麼型別的。

然後寫出與所給方程對應的齊次方程。

接著寫出它的特徵方程。由於這裡λ=0不是特徵方程的根,所以可以設出特解。

把特解代入所給方程,比較兩端x同次冪的係數。

舉例如下:

5樓:耐懊鶴

∵齊次方程y''-5y'+6y=0的特徵方程是r²-5r+6=0,則r1=2,r2=3

∴齊次方程y''-5y'+6y=0的通解是y=c1e^(2x)+c2e^(3x) (c1,c2是積分常數)

∵設原方程的解為y=(ax²+bx)e^(2x)

代入原方程,化簡整理得-2axe^(2x)+(2a-b)e^(2x)=xe^(2x)

==>-2a=1,2a-b=0

==>a=-1/2,b=-1

∴原方程的一個解是y=-(x²/2+x)e^(2x)

於是,原方程的通解是y=c1e^(2x)+c2e^(3x)-(x²/2+x)e^(2x) (c1,c2是積分常數)

∵y(0)=5,y'(0)=1 ==>c1+c2=5,2c1+3c2-1=11

∴c1=3,c2=2

故原方程在初始條件y(0)=5,y'(0)=1下的特解是y=3e^(2x)+2e^(3x)-(x²/2+x)e^(2x)

即y=(3-x-x²/2)e^(2x)+2e^(3x).

6樓:匿名使用者

微分方程的特解怎麼求?你是80我也不會。有時間我告訴你。

7樓:匿名使用者

這個提示非常難的,我覺得具有這方面的學生或者是老師幫來解答,知道你是學生還是什麼?如果你是學生的話,你可以問以前老師,不要不好意思的

二階常係數非齊次線性微分方程特解怎麼設?

8樓:demon陌

較常用的幾個:

1、ay''+by'+cy=e^mx

特解    y=c(x)e^mx

2、ay''+by'+cy=a sinx + bcosx

特解    y=msinx+nsinx

3、ay''+by'+cy= mx+n

特解    y=ax

二階常係數線性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程,其中p,q是實常數。自由項f(x)為定義在區間i上的連續函式,即y''+py'+qy=0時,稱為二階常係數齊次線性微分方程。

若函式y1和y2之比為常數,稱y1和y2是線性相關的;若函式y1和y2之比不為常數,稱y1和y2是線性無關的。特徵方程為:λ^2+pλ+q=0,然後根據特徵方程根的情況對方程求解。

擴充套件資料:

通解=非齊次方程特解+齊次方程通解

對二階常係數線性非齊次微分方程形式ay''+by'+cy=p(x)

其中q(x)是與p(x)同次的多項式,k按α不是特徵根、是單特徵根或二重特徵根(上文有提),依次取0,1或2.

將y*代入方程,比較方程兩邊x的同次冪的係數(待定係數法),就可確定出q(x)的係數而得特解y*。

多項式法:

設常係數線性微分方程y''+py'+qy =pm

f″(λ)/2!z″+f′(λ)/1!z′+f(λ)z=pm(x) ,這裡f(λ)=λ^2+pλ+q為方程對應齊次方程的特徵多項式。

升階法:

設y''+p(x)y'+q(x)y=f(x),當f(x)為多項式時,設f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an,此時,方程兩邊同時對x求導n次,得

y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an……

y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)!

y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n!

令y^n=a0n!/q(q≠0),此時,y^(n+2)=y^(n+1)=0。由y^(n+1)與y^n通過倒數第二個方程可得y^(n-1),依次升階,一直推到方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x),可得到方程的一個特解y(x)。

9樓:匿名使用者

(1)y」+3y』+2y=xe^-x

特解 y*=ax+b(這是錯的,最起碼得有個e^-x吧?)(2)y」+3y』+2y=(x² + 1)e^-x特解y*=x(ax²+bx+c)e^-x

-------------------------------1、xe^-x前的多項式為x,所以設qm(x)是qm(x)=ax+b,由於-1是特徵方程的單根,所以特解為

y*=x(ax+b)e^(-x)

2、(x²+1)e^-x前的多項式為二次,所以設qm(x)是qm(x)=ax²+bx+c,由於-1是特徵方程的單根,所以特解為y*=x(ax²+bx+c)e^-x

把特解帶入原微分方程,待定係數法求出引數a、b、c。

求齊次型微分方程的通解,齊次微分方程求通解這個是怎麼求的

薇我信 1 令y xt,則y xt t 代入原方程,得y y x ln y x xt t tlnt xt t lnt 1 dt t lnt 1 dx x d lnt 1 lnt 1 dx x ln lnt 1 ln x ln c c是積分常數 lnt 1 cx lnt cx 1 ln y x cx ...

已知某二階線性非齊次微分方程的解,求此微分方程

光信建昭 y1 xe x,y2 xe x e x,y3 xe x e 2x e x 那麼y2 y1 e x,y3 y2 e 2x是二階線性齊次微分方程的兩個解 故二階線性齊次微分方程的特解c1e x c2e 2x,1,2是特徵根,二階線性齊次微分方程為 y y 2y 0 設y y 2y f x y1...

二階非齊次微分方程通解的問題,二階線性齊次微分方程通解求法

首先,y ax 2 bx c並不是這個微分方程的通解形式,而是非齊次項x 2對應的特解形式。因為左式有y,而右式為x 2,所以特解y的最高階不會超過x 2,因而設特解為y ax 2 bx c 這道題用特徵值法求解,特徵方程 y r 2 1 0.求得 r i,因此齊次方程的通解形式為 y acosx ...