分段函式求導,分段函式分段點處求導的問題

時間 2021-08-13 07:12:18

1樓:匿名使用者

第一問:

老師前半句說的話相當對,但是對初學者理解這道題起不到什麼作用。函式的導數還沒解決,再整導數的函式豈不是更凌亂。

至於後半句·····請問「先用求導公式求導」這個所謂錯誤怎麼犯?此題在0處,**有可用的求導公式?

忽略老師的話吧,他也許是怕你們還理解不了深入的,先讓你們記住現成的結論。

分段函式求導,那麼重點不是求導,而是分段函式!搞清楚分段函式的前世今生,才能把握其特性,才能在特殊中總結出一般。

此題所謂「分段函式」,都是高手們站在一定的高度概括出來的,數學語言的優美性使得初學者很容易進坑。

這函式的實質那裡是什麼「分段」,明明就是一個大函式,走到0這個地方,突然不能定義了,才只好另作說明:「哥走到0這裡會變成0,別思念過去的哥了」。這正是高等數學中「函式可去間斷點」的定義。

可去間斷點雖然間斷,但仍然可以求極限。導數又是特殊的極限,自然聯想到用求極限的方式求導數嘍!

所謂「分段函式」,還有一種型別:就是x大於某數有一個表示式,x小於等於某數有一個表示式。這個才是真正的分段函式(但其實深究,也不過是兩個互不相干的函式在此點相交,各取一段,出一個大表示式來唬人罷了,哥不是夏大的!

)。第二問:

導函式只不過是一種特殊的函式,你用函式的思維考察導函式就行了。你會發現第二問你問的相當幼稚,肯定是被引導的鑽牛角尖了。

最後,至於「分段函式分段點必須要用定義求導」。世界上沒有這麼多必須的事兒,用求導公式也可以照求不誤!反而用求定義極為複雜。只不過對函式形式有要求,還有點連續的條件才能達到。

這麼多年過去了,不曉得樓主是否已經搞明白了呢?

2樓:匿名使用者

不要本末倒置了。論及導數,必須先確定一個基點a,然後考查自變數與函式在這點附近的變化。在許多問題中,一定範圍內的每一點都可以當作基點來考慮,所以為了方便,才直接用記號x表示基點a。

你翻下課本仔細看看,基本初等函式的求導和求導公式哪個不是定了一個基點來討論的,只不過那個基點用x來表示罷了。如果函式在一個開區間的任一點x都可導,此時f'(x)就是一個確定的值。這樣就得到一個定義在這區間上的函式,稱為是f的導函式。

換句話說,導函式在x點的函式值必等於原來的函式在x點的導數值。說了這麼多,就你那個題而言,之所以在x=0處要用定義計算,是因為根本就沒有現成的公式可用,而不是什麼導函式連不連續!先有的導數才有的導函式,一般來說,這種有分界點的函式,該點的導數我們只有用定義先算出,再把其它點的導數算出,才得到一個導函式。

這道題你可以驗證出它的導函式在x=0處是不連續的。但我們在沒有用定義得到這個點的導數時,導函式在這點上根本就還沒有(或者說根據你現有的知識無法)定義,又何談連續性呢?誰因誰果請樓主細心體會。

不過等你以後學習了導數極限定理,那麼只要f在x=0處連續,再求出在除去點x=0的導函式,如果這個導函式當x趨於0時的極限存在,那麼這個極限值就等於f'(0),進而導函式在x=0連續。

3樓:匿名使用者

因為導函式連續 那麼導數值才等於導函式的函式值,這是連續的定義了。

你可以記住,凡是分段函式,在他各段的分界點處的導數 就用定義去求,其他可直接使用導數公式。

樓主的這個分段函式 用定義求在0點的導數值應該是0就是連續,只不過用了導函式的連續性。

連續:函式在一點的極限值=他在這一點的函式值,這就是函式在這一點連續的定義。所以如果導函式在一點連續,那麼我們就可以通過導函式在這一點的函式值來表示它的極限值。

但分段函式的導數在其斷點處不一定連續,所以一般不能用導數公式去求樓上被採納的回答,導函式的確是在導數定義之後定義的,但是不是你求所有導函式的時候 都是用的導數定義?否則就沒法求了?你說的一定範圍每個點都可視作基點,所以用x,那x在這個範圍內具有任意性,你求出來的那個極限可不可以看做導函式呢?

本來很簡單的問題,讓你越說越複雜。

4樓:宰永秋芬菲

分段函式求導,分段求導,在斷點處,若兩邊的導數相等,則分段導數可以連線起來。

5樓:表業山燕婉

可以分段求,但是要注意應該用導數的定義求而不能直接用公式求導!

分段函式分段點處求導的問題

6樓:馮廷謙鬱詩

應該說分段點導數的左極限和右極限可能會不相等,所以導數可能不存在假設一個分段函式

y=x(x≤1);x²(x>1)

很顯然,x<1時,導數y『=1

而x>1時,導數y』=2x

那麼求x=1時的導數

(limx→1+)y『=2

(limx→1-)y'=1

兩邊的相等,所以導數不存在

導數存在的定義——某點左右導數存在且相等

7樓:匿名使用者

求導公式是根據定義推出來的。f(x+δx)-f(x)中,δx可正可負,δx為負時,f(x+δx)要套x點左邊的函式解析式,δx為正時,f(x+δx)套x點右邊的解析式。只有兩邊滿足同一個解析式,定義式才有極限,即點x有導數。

若x電兩邊解析式不同,定義是根本沒有極限,也就沒有導數。所以只能分別求當δx為正和δx為負時的極限,即右極限和左極限。

8樓:追思無止境

因為在分斷點處函式的兩邊不一定都有導數,或者導數不一定相等如:x x>0

y= -x x≤0

x>0時y'=1

x≤0時y'=-1

在x=0處導數不相等,即導數不存在

9樓:風狂舞水萌動

f(x)導數存在的必要條件是f(x)要連續啊, 你看看課本上求導公式的條件是什麼? 肯定是要求了f(x)連續, 斷點處怎麼能連續呢?

求導分段函式求導請問在x=x0處求

10樓:匿名使用者

這完全就是廢話,任何函式在任何一點的函式值,都是常數。

例如函式f(x)=x²,在x=0點的時候,函式值是常數0;在x=1點的時候,函式值是常數1;在x=2點的時候,函式值是常數4

所以不管是不是分段函式,不管是x=0點還是x=其他的點,函式值必然都是常數。

至於導數,首先看該函式在x=0點的左右極限是否存在並相等?如果存在並相等,就看是否等於定義的函式值,以上都成立,則函式在x=0點處連續。如果有一項不成立,就不連續。

如果不連續,當然不可導。

如果連續,就用導數的定義公式f'(0)=lim(x→0)[f(x)-f(0)]/x來計算導數。需要的時候,可以對左右導數分別求。

注意,任何函式在任何點的函式值,都必然是常數。

分段函式分段點處求導的問題,分段函式在分段點的左右導數

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