分段函式f x ,f 0 0,x 0時,f x exp 1 x 2 ,求f x 在0處的任意階導數值

時間 2021-08-13 07:12:18

1樓:電燈劍客

看上去你知道結論但不會嚴格證明,樓上幾位提供的證明從嚴謹性上講也確實有所不足,我給你演示一下,希望你能明白一些細微地方的技術運用。

首先,當x!=0時,f的n階導數為

f^(x) = exp(-1/x^2)p_n(1/x),

其中p_n(t)是一個3n次多項式,這一步用歸納法證明,p_n可由遞推關係p_(t) = t^2 p_n'(t) + 2t^3 p_n(t)確定。

下一步證明對任何實數k>0,lim exp(-1/x^2) / x^k = 0 (當然k<=0也對,只是這裡沒用)

這一步不要蠻幹,先做變數替換t=1/x^2,轉化成 t^ / exp(t),然後用l'hospital法則求[k/2]+1次就行了。

注意把exp(...)或ln(...)化成exp(t)或ln(t)通常會極大地簡化需反覆使用l'hospital法則的證明,這樣比較有說服力。

然後利用第2步的結論可以立即推出n>=1時lim f^(x) = 0以及f^(0) = lim [f^(x)-0]/x = 0,也就是說f^(x)在0點連續、f^(0)存在且為0(這裡也需要逐步遞推,因為需要f^(0)=0及連續性才能繼續討論f^(0))。

當然,如果要非常嚴謹的證明,對於各處歸納法的使用都要注意驗證歸納基礎,這樣邏輯上才是完整的。

2樓:藍色衣服的黑熊

答案如下,希望能採納,花了好長時間做的,雖然不完美,但是至少能讓你明白f(x)在0處的任意階導數值為0

3樓:匿名使用者

df/dx |x=0 = lim (exp(-1/x^2) -0)/x = lim (exp(-1/x^2)/x

顯然等於0,但是這個證明就難了

4樓:匿名使用者

只能用定義球:顯然連續

導數f'(0)=lim(f(x)-f(0))/x=(換元,令t=1/x)

=lim(t/exp(-t^2))=0

x!=0,f'(x)=2/x^3*exp(-1/x^2)導數f''(0)=....=0 如上(換元,t=1/x)................

任意階導數值=0

e的x次方的影象是怎麼畫的?

5樓:女寢門後賣香蕉

y等於e的x次方是一種指數函式,其影象是單調遞增,x∈r,y>0,與y軸相交於(0,1)點,影象位於x軸上方,第二象限無限接近x軸,如下圖所示:

6樓:匿名使用者

取值描點,將x取值,算出y值,最後將點連起來如圖e的x次方可以先把它當做一般的指數函式來畫,與 y軸交點為1,單調增加。並且這條曲線 與 y=x+1 正好切與(0,1)。

拓展資料:

(1)y=e^x,e>1是指數函式。影象過(0,1)點,在x軸上方,單調遞增,以x軸為漸近線。

(2)y=e^(-x)= (1/e)^x=1/ e^x恰為y=e^x的倒數。e^x* e^(-x)= e^0=1其影象與y=e^x的影象關於y軸對稱。

(3)y=e^│x│= e^x(x≥0)和e^(-x)(x<0)是分段函式。其影象為:

當x≥0時,取y=e^x的右半部分;當x<0時,取y=e^(-x)的左半部分。這樣一來,在(0,1)點,影象是一個尖,並不平滑。

7樓:奧媛

增函式,過(0,1)點,位於x軸上方,第二象限無限接近x軸。

拓展資料:

一、畫法:

1、首先畫出x軸與y軸,經過(0,1)點;

2、在第二象限起點畫,接近與y軸,屬於增函式。呈上升趨勢。

二、介紹:

1、指數函式的一般形式為y=a^x(a>0且≠1) (x∈r). 它是初等函式中的一種。

2、它是定義在實數域上的單調、下凸、無上界的可微正值函式a=e指數函式是數學中重要的函式

3、應用到值 e 上的這個函式寫為 exp(x)。還可以等價的寫為 e,這裡的 e 是數學常數,就是自然對數的底數,近似等於 2.718281828。

4、是一個無限不迴圈小數,而指數趨向無窮大,底數越來越接近1。

8樓:宋周文勇

y等於e的x次方是一種指數函式,其影象是單調遞增的。具體如下圖

拓展資料:

指數函式是重要的基本初等函式之一。一般地,y=a^x函式(a為常數且以a>0,a≠1)叫做指數函式,函式的定義域是 r 。

指數函式是數學中重要的函式。應用到值e上的這個函式寫為exp(x)。還可以等價的寫為e^x,這裡的e是數學常數,就是自然對數的底數,近似等於 2.

718281828,還稱為尤拉數。

基本性質:

(1) 指數函式的定義域為r,這裡的前提是a大於0且不等於1。對於a不大於0的情況,則必然使得函式的定義域不連續,因此我們不予考慮,同時a等於0函式無意義一般也不考慮。

(2) 指數函式的值域為(0, +∞)。

(3) 函式圖形都是上凹的。

(4) a>1時,則指數函式單調遞增;若0(5) 可以看到一個顯然的規律,就是當a從0趨向於無窮大的過程中(不等於0)函式的曲線從分別接近於y軸與x軸的正半軸的單調遞減函式的位置,趨向分別接近於y軸的正半軸與x軸的負半軸的單調遞增函式的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。

(6) 函式總是在某一個方向上無限趨向於x軸,並且永不相交。

(7) 指數函式無界。

(8)指數函式是非奇非偶函式。

(9)指數函式具有反函式,其反函式是對數函式,它是一個多值函式。

9樓:啾啾啾蕎芥

這個高速的夾在書上沒有,你自己去看一下書

10樓:匿名使用者

增函式,過(0,1)點,位於x軸上方,第二象限無限接近x軸

11樓:藤周芮麗澤

請看**,呵呵

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已知函式f x f 1 e x 1f 0 x

f 0 f 1 e f x f 1 e x 1 f 0 xf 1 f 1 f 0 1 f 1 f 1 e 1解得f 1 e f 0 1 f x e x x 1 2 x 2 令 f x e x x 1 0 解得 x 0f x e x 1 0,f x 單調遞增x 0 f x 0 f x 單調遞增x 0 ...

分段函式f(xx 2 1,x 0 1,x 0則滿

從函式的變數入手 噹噹x 0時,2x 0 f 2x 0只需1 x 0 則f 1 x 1 x 1 1即 1 x 1 綜合 知 1 x 0 當x 0時 因為f x x 1在 0,上遞增 只需1 x 2x解得 1 2 x 2 1 綜合 知 0 x 2 1 綜合兩種情況知道滿足條件x的取值範圍為 1 觀察法...

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f x x 2x x 0 0 x 0 x mx x 0 1 求實數m的值 2 若函式f x 在區間 1,a 2 上單調遞增,試確定a的取值範圍 f x x 2 2x 因為是奇的,x 0時,與 x 2 2x關於原點對稱。設 x,y x 0的對稱點 a,b a 0 則 a x 0 b x 0 x a y...