為什麼tsint趨於0時的極限是

時間 2021-08-14 14:07:10

1樓:匿名使用者

正確的證明方法,是用單位圓畫圖和夾逼定理來做的。

問:當x趨於0如何證明x/snx的極限為1

可以用夾逼定理來證明

以(0,0)為圓心,畫一個半徑為1的圓;作圖如下,da⊥ob,cb⊥od,x正半軸到直線oc的角度為x

當x>0的時候,如圖

設三角形oda面積為s1,扇形面積odb面積為s2,三角形ocb面積為s3

得s1<s2<s3

而da=od*sinx=1*sinx=sinx

弧db=od*x=x

bc=ob*tanx=1*tanx=tanx

由幾何知識可知

da<弧db<bc

即sinx<x<tanx

即sinx<x<sinx/cosx

因為x>0,在x=0附近,x是第一象限的角,sinx,x,tanx,cosx都是正數

所以1<x/sinx<1/cosx(同時除以正數sinx,不等號不變號)

而lim(x→0+)1=1,lim(x→0+)1/cosx=1

根據夾逼定理,得知lim(x→0+)x/sinx=1

類似的,可以證明lim(x→0-)x/sinx=1

所以lim(x→0)x/sinx=1

注意,此題的證明,不能採用洛必達法則,不能用分子分母求導得到

lim(x→0)x/sinx=lim(x→0)(x)'/(sinx)'=lim(x→0)1/cox=1的方法來做。

因為正弦函式的導數是餘弦函式,即(sinx)'=cosx,這個公式的證明過程中,就使用了lim(x→0)x/sinx=1這個結論。所以用洛必達法則來做,使用(sinx)'=cosx的話,就是迴圈證明,屬於證明中的邏輯錯誤。

2樓:匿名使用者

sint是斜邊和對邊的比例,t近似接近於半徑和斜邊比例,當t趨於0的時候,兩者的比例就無限接近於1,這在高等數學的一開始就介紹的,有嚴格的證明。要注意到的是,這是的t是弧度,不是角度。

f(x)=limt→0 (1+sint/x)^(x^2/t) 50

3樓:

t趨於0,那麼sint也趨於0,sint等價於t;

所以得到(1+sint/x)^(x/sint)趨於e;

那麼f(x)=limt→0 (1+sint/x)^(x^2/t)=e^x;

左右極限f(0+) f(0-)都是趨於e^0=1。

x=0的時候,t也趨於0的,無論如何,(1+sint/x)^(x/t),都是趨於常數,那麼x趨於0,(1+sint/x)^(x^2/t)即對常數取0次方,得到的極限值就是1。

擴充套件資料

f(x)=limt→0 (1+sint/x)^(x^2/t)

lim(t→∞)(t^2)[f(x+π/t)-f(x)]sin(x/t)

= lim(t→∞)(t^2)[f(x+π/t)-f(x)](x/t)   (等價無窮小替換)

= πx*lim(t→∞)[f(x+π/t)-f(x)]/(π/t)

= πxf'(x)

4樓:巴蒂斯塔

f(x)等於e^x吧,所以答案是1

x趨於0時,sinx arctanx求極限,,使用泰勒公式

先使用泰勒公式得到 sinx x x 3 3 x 5 5 x 7 7 x 9 9 arctan x x x 3 3 x 5 5 x 7 7 x 9 9 故sinx arctan x x x 3 3 x 5 5 x 7 7 x 9 9 x x 3 3 x 5 5 x 7 7 x 9 9 x 3 3 x...

xIn 1 x ,x趨於0時的極限

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n 1n,當n趨於無窮大時的極限

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