1樓：匿名使用者
一元三次方程求根公式的解法
一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的，用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax^3+bx^2+cx+d+0的標準型一元三次方程形式化為x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到，即根據一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式歸納出一元三次方程的求根公式的形式。歸納出來的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式應該為x=a^(1/3)+b^(1/3)型，即為兩個開立方之和。歸納出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出開立方里面的內容，也就是用p和q表示a和b。
方法如下：
（1）將x=a^(1/3)+b^(1/3)兩邊同時立方可以得到
（2）x^3=(a+b)+3(ab)^(1/3)(a^(1/3)+b^(1/3))
（3）由於x=a^(1/3)+b^(1/3)，所以（2）可化為
x^3=(a+b)+3(ab)^(1/3)x，移項可得
（4）x^3－3(ab)^(1/3)x－(a+b)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比較，可知
(5)－3(ab）^（1/3）＝p,－(a+b)=q，化簡得
（6）a+b＝－q，ab＝-（p/3）^3
（7）這樣其實就將一元三次方程的求根公式化為了一元二次方程的求根公式問題，因為a和b可以看作是一元二次方程的兩個根，而(6)則是關於形如ay^2+by+c=0的一元二次方程兩個根的韋達定理，即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)對比（6）和（8），可令a＝y1，b＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a
(10)由於型為ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式為
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化為(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
將(9)中的a＝y1，b＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)a＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
b＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)將a，b代入x=a^(1/3)+b^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
式 (14)只是一元三方程的一個實根解，按韋達定理一元三次方程應該有三個根，不過按韋達定理一元三次方程只要求出了其中一個根，另兩個根就容易求出了
解一元四次方程，轉化為解一個三次方程和兩個二次方程
很久以前，人們就解決了一元一次方程與一元二次方程的求解問
題。（在初一和初二就會學習到有關內容）然而對一元三次方程的求
解卻使眾多的數學家們陷入了困境，許多人的努力都以失敗而告終。
2023年，義大利數學家帕西奧利對三次方程進行過艱辛的探索後作出
極其悲觀的結論。他認為在當時的數學中，求解三次方程，猶如化圓
為方問題一樣，是根本不可能的。這種對以前失敗的悲嘆聲，卻成為
16世紀義大利數學家迎接挑戰的號角。以此為序曲引出了我們要講述
的關於三次方程求解的故事。
故事中第一個出場的人物是一位大學教授，名字叫費羅(scipione
del ferro, 1465-1526)。他在帕西奧利作出悲觀結論不久，大約在1500
年左右，得到了x3+mx=n這樣一類缺項三次方程的求解公式。在求解
三次方程的道路上，這是一個不小的成功。但出乎我們意料的是，他
並沒有馬上發表自己的成果以廣為傳播自己的成功。相反，他對自己
的解法絕對保密！這在“不發表即發黴”的今天，真是不可思議之事！
在當時卻有其原因。那時一個人若想要保住自己的大學職位，必須在
與他人的學術論爭中不落敗。因此，一個重要的新發現就成了一件論
爭中處於不敗之地的有力**。最後直到其臨終前，大約2023年左右，
他才將自己的這一“殺手鐗”傳給兩個人：他的女婿和他的一個學生。
他那不學無術的女婿不久就將此拋之腦後了，這樣他的學生菲奧爾以
這一“殺手鐗”唯一傳人的角色在我們的故事中作為第二個人物露面
了。菲奧爾本人的數學才能並不突出，但他卻因獨得費羅祕技而以之
炫耀於世。只不過他“獨此一家，別無分店”的招牌卻沒有掛太長的
時間，一個厲害的挑戰者塔塔利亞(niccolo tartaglia of brescia, 1499-1557)
出現在他的面前。
塔塔利亞
這是我們故事中出場的第三個人物，其原名豐塔納。2023年，在
一次戰亂中他被一法國兵用刀砍傷臉部，頭部口舌多處受傷，其後雖
僥倖活命，卻留下了口吃的後遺症。於是就得了“塔塔利亞”的綽號，
義大利語就是“口吃者”的意思。那時他還只有13歲。然而這並沒有
妨礙這位有才能的頑強的少年主要通過自學的方式在數學上達到極高
的成就。2023年他宣稱自己已得到了形如x3+mx2=n這類沒有一次項的
三次方程的解的方法。不久，菲奧爾就聽到了挑戰者的叫板聲，於是
我們故事中的兩位人物開始碰面了。
二人相約在米蘭進行公開比賽。雙方各出三十個三次方程的問題，
約定誰解出的題目多就獲勝。塔塔利亞在2023年2月13日，在參加比
賽前夕經過多日的苦思冥想後終於找到了多種型別三次方程的解法。
於是在比賽中，他只用了兩個小時的時間就輕而易舉地解出了對方的
所有題目，而對方對他的題目卻一題都做不出來。這樣他以30:0的戰
績大獲全勝。這次輝煌的勝利為塔塔利亞帶來了轟動一時的榮譽，同
時也意味著菲奧爾可以在我們的故事中以不體面的方式先行退場了。
塔塔利亞為這次勝利所激勵，更加熱心於研究一般三次方程的解
法。到2023年，終於完全解決了三次方程的求解問題。或許是出於與
費羅同樣的考慮，或許是想在進一步醞釀後寫一本關於三次方程解法
的書的緣故，塔塔利亞沒有將自己的成果很快發表。於是，風波驟起，
本應進入尾聲的故事，由於又一個重要人物的出場而被引入了一個完
全不同的方向。
卡爾達諾
這位半路殺出來的“程咬金”叫卡爾達諾(girolamo cardano, 1501
-1576)，一位或許是數學史中最奇特的人物。他的本行是醫生，並且
是一個頗受歡迎的醫生。但其才能並沒有侷限於此，他在各種知識領
域裡顯示出自己的天賦。除了是一個極好的醫生外，他還是哲學家和
數學家，同時是一個占星術家，並在這些知識領域裡都獲得了重要成
果。他行為有些怪異，性好賭博，人品看來也不太佳。在他去世後一
百年，偉大的萊布尼茲概括了他的一生：“卡爾達諾是一個有許多缺
點的偉人；沒有這些缺點，他將舉世無雙。”在我們故事中卡爾達諾
所要扮演的正是一個將才能與不佳的人品集於一身的不太光彩角色。
在塔塔利亞與菲爾奧的競賽後不久，卡爾達諾聽說了這一故事。
在此之前他對三次方程求解問題已進行過長時間的研究，卻沒有得到
結果。於是可以想象得到他是多麼急於想知道塔塔利亞這位解三次方
程大師的奇妙技巧。為此他多次向塔塔利亞求教三次方程的解法，開
始都被塔塔利亞拒絕了。但最終在卡爾達諾立下永不洩密的誓言後，
他於2023年3月25日向卡爾達諾公開了自己的祕密。故事的轉折就這
樣開始了。
卡爾達諾並沒有遵守自己的諾言，2023年他出版《大術》一書，
將三次方程解法公諸於眾，從而使自己在數學界名聲鵲起。當然，如
果說句公道話的話，卡爾達諾的《大術》一書並非完全抄襲之作，其
中也包含著他自己獨特的創造。然而，這種失信畢竟大大激怒了塔塔
利亞。2023年他在《各式各樣的問題與發明》一書中嚴斥卡爾達諾的
失信行為，於是一場爭吵無可避免地發生了。一時間，充滿火藥味的
信件在雙方之間飛來飛去。2023年8月10日在米蘭的公開辯論使這場
衝突達到白熱化。卡爾達諾在這場公開辯論中自己避不出席而是派遣
了一位學生出馬。這個學生的名字叫費拉里(ludovico ferrari, 1522-1565)，
是我們故事中出場的最後一個人物。
費拉里15歲時充當卡爾達諾的家僕。主人發現了他的出眾才能，
接受他為學生和助手。18歲時接替卡爾達諾在米蘭講學。其最大的貢
獻是發現四次方程的一般解法。現在這位以脾氣暴躁著稱且又忠誠的
學生要報答老師的知育之恩了。在這場公開的辯論中，塔塔利亞先以
三次方程的迅速解答取得優勢，而費拉里則指摘對方不能解四次方程。
於是一場數學論爭逐漸演變成一場無聊的謾罵。最後客場作戰的塔塔
利亞以失敗而告終，後者宣稱了自己勝利。由於卡爾達諾最早發表了
求解三次方程的方法，因而數學上三次方程的解法至今仍被稱為“卡
爾達諾公式”，塔塔利亞之名反而湮沒無聞了。這對塔塔利亞來說似
乎是太不公平了。不過，這又怎麼樣呢？在歷史上，這類爭奪優先權
的論戰又何止這一樁呢？隨著時間的推移，多少年過去後，在當時對
於個人如此重要的事，對後人而言卻不過是“古今多少事，都付笑談
中”而已。
附錄（異調編寫）
塔塔利亞發現的一元三次方程的解法
一元三次方程的一般形式是
x3+sx2+tx+u=0
如果作一個橫座標平移y=x+s/3，那麼我們就可以把方程的二次項消
去。所以我們只要考慮形如
x3=px+q
的三次方程。
假設方程的解x可以寫成x=a-b的形式，這裡a和b是待定的引數。
代入方程，我們就有
a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q
整理得到
a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q
由二次方程理論可知，一定可以適當選取a和b，使得在x=a-b的同時，
3ab+p=0。這樣上式就成為
a3-b3=q
兩邊各乘以27a3，就得到
27a6-27a3b3=27qa3
由p=-3ab可知
27a6 + p = 27qa3
這是一個關於a3的二次方程，所以可以解得a。進而可解出b和根x。
費拉里發現的一元四次方程的解法
和三次方程中的做法一樣，可以用一個座標平移來消去四次方程
一般形式中的三次項。所以只要考慮下面形式的一元四次方程：
x4=px2+qx+r
關鍵在於要利用引數把等式的兩邊配成完全平方形式。考慮一個引數
a，我們有
(x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2
等式右邊是完全平方式當且僅當它的判別式為0，即
q2 = 4(p+2a)(r+a2)
這是一個關於a的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我們可以
解出引數a。這樣原方程兩邊都是完全平方式，開方後就是一個關於x
的一元二次方程，於是就可以解出原方程的根x。
一元三次方程和一元四次方程的求根公式是什麼
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