證明n 3 1 5n 2 0 5n 1 對任何整數n都為整數,且用3除時餘

時間 2021-08-31 06:38:00

1樓:匿名使用者

證明:( n^3+1.5n^2+0.5n-1)=0.5n(n+1)(2n+1)-1

因為 n(n+1) 為連續二整數的積,必可被2整除。

所以 0.5n(n+1)(2n+1) 對任何整數n均為整數

所以 0.5n(n+1)(2n+1)-1 為整數,即 ( n^3+1.5n^2+0.5n-1) 為整數

因為 0.5n(n+1)(2n+1) = 4n(n+1)(2n+1)/8 = 2n(2n+1)(2n+2)/8

2n、(2n+1)、(2n+2) 為三個連續整數,其積必為3的倍數,而2與3互質,

所以 0.5n(n+1)(2n+1) 是能被3整除的數。

所以 ( n^3+1.5n^2+0.5n-1) = 0.5n(n+1)(2n+1)-1

= /2 被3除時餘2.

2樓:肖瑤如意

1.n為偶數,設n=2k,n為自然數

原式=(2k)^3+1.5*(2k)^2+0.5*2k-1

=8k^3+6k^2+k-1

=9k^3+6k^2-k^3+k-1

=3k(k^2+2k)-k(k^2-1)-1

=3k(k^2+2k)-(k-1)k(k+1)-3+2

3k(k^2+2k)為整數,且能被3整除

(k-1)k(k+1)為三個連續的自然數相乘,其中必有一個為3的倍數,

結果為整數且能被3整除

所以3k(k^2+2k)-(k-1)k(k+1)-3能被3整除

所以3k(k^2+2k)-(k-1)k(k+1)-3+2為整數且除以3的餘數為2

2.n為奇數,設n=2m+1,m為自然數

原式=(2m+1)^3+1.5(2m+1)^2+0.5(2m+1)-1

=8m^3+12m^2+6m+1+6m^2+6m+1.5+m+0.5-1

=8m^3+18m^2+13m+2

=9m^3+18m^2+12m-m^3+m+2

=3(m^3+6m^2+4m)-(m-1)m(m+1)+2

同理,3(m^3+6m^2+4m)-(m-1)m(m+1)+2為整數且除以3的餘數為2

綜上,( n^3+1.5n^2+0.5n-1)對任何整數n都為整數,且用3除時餘2得證

3樓:

( n^3+1.5n^2+0.5n-1)=( 2*n^3+3n^2+n)/2-1=n*(2*n^2+3n+1)/2-1=n(n+1)(2n+1)/2-1

因為任意兩個連續整數的積能夠被2整除,因此n(n+1)(2n+1)/2為整數,所以原式為整數

原式=n(n+1)(2n+1)/2-1=n(n+1)(2n+1)/2-1-2+2=n(n+1)(2n+1)/2-3+2

因此只需證明n(n+1)(2n+1)/2能被3整除

用完全歸納法令t=n(n+1)(2n+1)/2

分類1)當n=0時,t=0,能夠被3整除。

2)當n>0時

(1)當n=1時,t=3,能被3整除

(2)設當n=k時,t=k(k+1)(2k+1)/2能被3整除

則n=k+1時,t'= (k+1)(k+1+1)[2(k+1)+1]/2=(k+1)(k+2)[2k+3]/2

t'-t=(k+1)(k+2)[2k+3]/2 - k(k+1)(2k+1)/2

=(k+1)/2*[(k+2)(2k+3)-k+1)(2k+1)]=(k+1)/2*[2k^2+4k+3k+6-2k^-k]

=(k+1)/2*[6k+6]=3*(k+1)^2/2 能被3整除

而t也能被3整除,因此t'能被3整除

即當n=k,原式能被3整除時,n=k+1也能被3整除。完全歸納法證畢。

3)當n<0時令m=-n重複2)即可。證畢。

4樓:

證明:n^3+1.5n^2+0.5n-1=0.5n(n+1)(2n+1)-1

顯然2整除n(n+1),所以0.5n(n+1)為整數,所以n^3+1.5n^2+0.5n-1為整數

設f(n)=0.5n(n+1)(2n+1)當n=0(mod3)時,顯然3│n

當n=1(mod3)時,顯然3│(2n+1)當n=2(mod3)時,顯然3│(n+1)綜上,總有3│f(n),所以f(n)-1=2(mod3)成立。證畢!

5樓:

1)整數包括奇數和偶數(正、零、負)

當n=0時,顯然:( n^3+1.5n^2+0.5n-1)=-1 為整數

當n為偶數時,令n=2m(m為整數)

此時 :n^3+1.5n^2+0.5n-1=(2m)^3+4m^2+m-1

=8m^3+6m^2+m-1,

顯然為整數;

當n為奇數時,令n=2m-1

此時:n^3+1.5n^2+0.5n-1

=(2m-1)^3+1.5(2m-1)^2+0.5(2m-1)-1=(2m-1)^3+6m^2-6m+1.

5+m-0.5-1=8m^3-12m^2+6m-1+6m^2-5m=8m^3-6m^2+m-1 ,

同樣為整數

所以,( n^3+1.5n^2+0.5n-1)對任何整數n都為整數2)當n為任意整數

可以看到8m^3+6m^2+m-1和8m^3-6m^2+m-1 中6m^2一定可以被3整除

所以只需要考慮8m^3+m-1被3能否整除。

8m^3+m-1

=9m^3-m^3+m-1

如果上式被3除餘2

那麼 9m^3-m^3+m-1+1一定可以被3整除即9m^3-m^3+m可以被3整除

其中9m^3可以被三整除

而-m^3+m

=-m(m^2-1)

=m(m-1)(m+1)

為連續的3個自然數之積,其中一定有一個數可以被2整除總之,( n^3+1.5n^2+0.5n-1)用3除時餘2

用放縮發證明 1 n 1 1 2 2 1 n 2n 1 n其中n 2,3,

利用這個 1 k k 1 1 k 2 1 k k 1 放縮。 1 2 2 1 3 2 1 n 2 1 2 2 1 3 3 1 n n 1 2 3 1 3 4 1 n n 1 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n 1 n 1 1 2 1 n 1 1 2 2 1 3 2 1 n 2 1 1 2 1 2...

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