1樓：匿名使用者
這是√2無理數證明，你可以參考
證明：假設√2不是無理數，而是有理數。
既然√2是有理數，它必然可以寫成兩個整數之比的形式：√2=p/q。
再假設p和q沒有公因數可以約，所以可以認為p/q 為最簡分數,即最簡分數形式。
把 √2=p/q 兩邊平方得 2=(p^2)/(q^2)即 2(q^2)=p^2
由於2q^2是偶數，p 必定為偶數，設p=2m由 2(q^2)=4(m^2)得 q^2=2m^2同理q必然也為偶數，設q=2n
既然p和q都是偶數，他們必定有公因數2，這與前面假設p/q是最簡分數矛盾。這個矛盾是由假設√2是有理數引起的。因此√2是無理數。
2樓：電燈劍客
“有理數的根號二次方不能是有理數”
反例：0^}, 1^}都是有理數
當然除此之外沒有別的反例了，但證明很困難
如果你只有高二水平，那麼就不用考慮這個問題了，我可以把結論給你，但你至少得學過一部分代數和複分析才能真正知道下面這個定理的意思
gelfond–schneider定理：
如果a, b是代數數, a不是0或1, b不是有理數, 那麼a^b的所有可能取值都是超越數.
3樓：斷章是為傑
書上證明根號二是無理數是用的反證法，設根號二等於p/q且pq互質，最後推出兩者不互質自相矛盾了。至於根號二開根號應該也是一個思路，至少肯定得用反證法。
怎麼證明根號2是無理數?
4樓：譙萱戰鳥
假設存在這樣一個
有理數p,
p^2=
2.再設p
=a/b，
a、b是兩
正整數，且
既約，就是沒有除1外的共因子，使得(a/b)^2=2；
變形以後得a^2=2
*b^2，推出a^2是個偶數，同時為了滿足a^2是個平方數，那b^2必須包含一個因子2，所以a^2/b^2不是既約的，那a/b也不是既約的啦！與前提矛盾，證得單位正方形對角線長度不是有理數！
5樓：初中數學九筒老師
20190821 數學04
6樓：俟令丘文君
反證法，假設它是
有理數則
sqrt(2)=p/q
p,q為有理數，且p,q不可
約分(有理數的定義)
兩邊平方得
2=p^2
/q^2
顯然，如果q為奇數，則q^2是奇數，p^2則是偶數，推出p為偶數，同理q為偶數，則推出p為偶數,p
綜上，p一定是偶數
不妨設p=2s
帶入2=p^2/q^2
q^2=2s^2(偶數)，從而q一定是偶數p，q都是偶數，這顯然與我們的其實假設矛盾，因為這樣的p，q必然是可以約分的，故得證
7樓：聲合英巫煙
如果√2是有理數，必有√2=p/q（p、q為互質的正整數）兩邊平方：2=p^/q^
p^=2q^
顯然p為偶數，設p=2k（k為正整數）
有：4k^=2q^,q^=2k^
顯然q業為偶數，與p、q互質矛盾
∴假設不成立，√2是無理數
證明根號2是無理數
8樓：顏代
證明：假設√2是有理數。那麼可用互質的兩個數m、n來表示√2。
即√2=n/m。
那麼由√2=n/m可得，
2=n^2/m^2，即n^2=2*m^2
因為n^2=2*m^2，那麼n^2為偶數，則n也為偶數。
則可令n=2a，那麼(2a)^2=2*m^2，化簡得2a^2=m^2，同理可得m也為偶數。
那可令m=2b。
那麼由m=2b，n=2a可得m與n有共同的質因數2，即m和n不是互質的兩個數。
所以假設不成立。
即√2是有理數不成立，那麼√2是無理數。
9樓：初中數學九筒老師
20190821 數學04
10樓：鮮日國漢
反證法如果√2是有理數，
必有√2=p/q(p、q為互質的正整數)
兩邊平方:2=p^/q^
p^=2q^
顯然p為偶數，
設p=2k(k為正整數)
有:4k^=2q^,
q^=2k^
顯然q業為偶數，
與p、q互質矛盾
∴假設不成立，√2是無理數
11樓：
假設根號2是有理數
有理數可以寫成一個最簡分數
及兩個互質的整數相除的形式
即根號2=p/q
pq互質
兩邊平方
2=p^2/q^2
p^2=2q^2
所以p^2是偶數
則p是偶數
令p=2m
則4m^2=2q^2
q^2=2m^2
同理可得q是偶數
這和pq互質矛盾
所以假設錯誤
12樓：郝宸呼延華茂
證明：假設√2不是無理數，而是有理數。
既然√2是有理數，它必然可以寫成兩個整數之比的形式：
√2=p/q
又由於p和q沒有公因數可以約去，所以可以認為p/q為最簡分數,即最簡分數形式。
把√2=p/q
兩邊平方
得2=(p^2)/(q^2)
即2(q^2)=p^2
由於2q^2是偶數，p
必定為偶數，設p=2m
由2(q^2)=4(m^2)
得q^2=2m^2
同理q必然也為偶數，設q=2n
既然p和q都是偶數，他們必定有公因數2，這與前面假設p/q是最簡分數矛盾。這個矛盾是由假設√2是有理數引起的。因此√2是無理數。
13樓：曾自覃寄春
證明：假設根號2為有理數，則可表示為兩個最簡整數比的形式：
根號2=p/q
則兩邊平方得：2=
p2/q2
因為2q2必為偶數
所以p必為偶數，設為p=2m，（m屬於z）則p2=4m2=2q2，q2=2m2
所以，p必為4的倍數，q必為2的倍數！
則p，q必有公因數2，p/q不為最簡整數比！
與假設相矛盾
所以，假設錯誤，根號2為無理數！
14樓：匿名使用者
反證法假設√2是有理數，則√2＝m/n(m,n是互質的整數)所以m^2=2n^2,
2n^2是偶數，所以m^2是偶數，所以m=2k（k∈z）,所以4k^2=2n^2,2k^2=n^2,所以n也是偶數。
這與m,n互質矛盾
所以假設不成立得證。
15樓：匿名使用者
反證法:設根號2為有理數,則它可化為兩個整數相除的形式.分母為整數,假設分母不含因子根號2，則分子必定含有因子根號2,又分子為整數,則分子中根號2的個數必定為偶.
既然分子中根號2個數為偶,則它與分母相除就得不到根號2,這就產生了矛盾。
16樓：軒轅流霜
假設根號2是有理數
那麼根號2可以由兩個互質的素數表示成p/q即根號2=p/q
p=根號2*q
兩邊平方得p^2=2*q^2
所以p^2為偶數
所以p為偶數
所以p^2為4的整數倍
所以q^2為偶數
所以q為偶數
得到p、q均為偶數，並不互質
與假設矛盾
所以根號2為無理數
17樓：飽和食鹽水
有理數的性質是它可以化成一個分數m/n的形式，且m,n互質．設根2=m/n 則2=m^2/n^2
所以m^2為2的倍數，所以m為偶數．設m=2k,代入原式，所以n^2=2k^2,則n又為的倍數．
而這與m,n互質矛盾，所以不存在這樣的m,n.
所以根2為無理數．
18樓：匿名使用者
假設根號2為有理數，那麼必然可以表示為兩個整數之比，即m/n設m/n為最簡分數，即m.n互質
因為m/n=2
所以(m/n)^2=m^2/n^2=2
m^2=2n^2
所以m^2為偶數，即m為偶數
不妨設m=2k
那麼m^2=4k^2
所以n^2=m^2/2=2k^2
所以n^2為偶數，即n為偶數
所以m,n均為偶數，m/n必有公約數2，即m/n不是最簡分數，與假設矛盾，所以根號2不能表示為兩個整數m/n之比，所以不是有理數，即是無理數
19樓：匿名使用者
設根號2是有理數
根號2=m/n mn為互質整數
則2=m方/n方
m方=2m方 即m方是偶數,m為偶數
m為偶數,則m方為4的倍數
則n方為偶數,n為偶數
則mn不互質
與假設矛盾
所以:根號2是無理數
這種方法叫反證法,
1,假設相反的情況成立
2,根據假設得出於假設矛盾的結論
3,從而證明假設錯誤,原命題正確
20樓：匿名使用者
證明：如果根號2是有理數，
則滿足有理數的性質：任何有理數可以表示成p/q的形式其中p，q為正整數並且p，q互素即最大公約數是1則根據最大公因數的性質有正整數m，n
使mp+nq=1 …………（1）
因為 p/q=根號2 ，為有理數
所以 p=（根號2）*q也是有理數（根據有理數域性質）…………（2）代入（1）
m*（根號2）*q+nq=1 …………（3）又因為m>=1,根號2>1,q>=1,n>=1,所以m*（根號2）*q+nq>1，
與（3）矛盾
所以根號2為無理數證畢！
21樓：蕭泊星辰
上面的反證法是有漏洞的，題目要求證明√2是無理數，就相當於證明只有偶數的平方才是偶數，因此“只有偶數的平方才是偶數”是不能作為論據的，因為那是待證明的結論。
況且，既然假設了√2是有理數，那麼√2這個“有理數”的平方就是偶數，何來“只有偶數的平方才是偶數”？
嚴格的反證法應該是：
假設√2是有理數，即√2=m/n，m/n為最簡分數
由於1<√2<2，所以0<(√2-1)<1
因此m>(√2-1)m=2n-m∈n ; n>(√2-1)n=m-n∈n
所以，√2的最簡分數形式也許為[(√2-1)m]/[(√2-1)n]，但肯定不是m/n，這與假設矛盾。故√2是無理數。
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