已知f x 是定義在實數集R上的函式,且f x 2 1 f x1 f x ,f 2 1 根號3,則f 2019 等於多少

時間 2021-08-30 11:00:26

1樓:韓增民鬆

二樓的解答完全正確,問題是一般人看不太懂,我在這裡細化一下,能使樓主看明白

∵f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),f(2)= 1-√3

f(x+2)=(f(x)+1)/(1-f(x))

f(x+4)=f(x+2+2)= (f(x+2)+1)/(1-f(x+2))

=[1+(f(x)+1)/(1-f(x))]/[1-(f(x)+1)/(1-f(x))]

=-1/f(x)

同理可求

f(x+6)=(f(x)-1)/(f(x)+1)

f(x+8)=f(x)

即週期為8

f(2010)=f(2+2008)=f(2+8*251)=f(2)=1-√3

2.∵f(x)=(1/3)x^3-x^2(k+1)/2

f'(x)=x^2-(k+1)x=x(x-k-1)

又f(x)在(2,+∞)上為增函式

則f'(2)=2(2-k-1)>=0==>k<=1

∵g(x)=1/3-kx

設h(x)=f(x)-g(x)=1/3x^3-x^2(k+1)/2-1/3+kx=1/3x^3-x^2(k+1)/2+kx-1/3

令h'(x)=x^2-(k+1)x+k=0,解得x1=1,x2=k

h”(x)=2x-k-1, h”(1)=2-k-1, h”(k)=k-1

h(1)=1/3-(k+1)/2+k-1/3=(k-1)/2

h(k)=1/3k^3-k^2(k+1)/2+k^2-1/3=-k^3/6+k^2/2-1/3

當k<1時,函式h(x)在x1處取極小值,在x2處取極大值;

h(1)=(k-1)/2<0==>k<1

h(k)=-k^3/6+k^2/2-1/3>0

k^3-3k^2+2=(k-1)(k^2-2k-2)<0==>

解得k<1-√3或11時,函式h(x)在x1處取極大值,在x2處取極小值;

h(1)=(k-1)/2>0==>k>1

h(k)=-k^3/6+k^2/2-1/3<0

k^3-3k^2+2=(k-1)(k^2-2k-2)>0==>

解得1-√31+√3

∴k>1+√3

綜上,函式f(x)與g(x)的影象有三個不同的交點,必須滿足 k<1-√3或者k>1+√3

補充:如何解k^3-3k^2+2=(k-1)(k^2-2k-2)<0

設f(x)= x^3-3x^2+2, 令f’(x)=3x^2-6x=0解得x1=0,x2=2

f”(x)=6x-6, f”(0)=-6<0, f”(2)=6>0

∴f(x)在x1=0處取極大值,在x2=2處取極小值

∴解得k<1-√3或1

2樓:

f(x+2)=(f(x)+1)/(1-f(x))

f(x+4)=[1+(f(x)+1)/(1-f(x))]/[1-(f(x)+1)/(1-f(x))]

=-1/f(x)

同理f(x+6)=(f(x)-1)/(f(x)+1)

f(x+8)=f(x)

即週期為8

f(2010)=f(2+2008)=f(2+8*251)=f(2)=1-√3

2 f'(x)=x^2-(k+1)x=x(x-k-1) 在x>2時恆大於0

即x-k-1在x>2時恆大於0

2-k-1>=0

k<=1

設t(x)=f(x)-g(x)=1/3x^3-x^2(k+1)/2-1/3+kx=1/3x^3-x^2(k+1)/2+kx-1/3=0有3個解

t'(x)=x^2-(k+1)x+k=0

x1=1

x2=k

即x=1,k時存在極值

1)k>1時.t(1)>0,t(k)<0

解得k>1+√3

2)k<1時,t(k)>0,t(1)<0

k<1-√3

所以 k>1+√3或者k<1-√3

3樓:不能細說

1.f(x+2)=[1+f(x)]/[1-f(x)],代入到f(x+4)[1-f(x+2)]=1+f(x+2),得到f(x+4)=-1/f(x)

因此f(x+8)=f(x)

所以f(2010)=f(2)=1-根號3。

2.(1)

f'(x)=x^2-(k+1)x=x(x-(k+1))在(2,正無窮)上為非負

所以k+1<=2

k<=1

(2)f(x)-g(x)=(1/3)x^3-x^2(k+1)/2-1/3+kx與x軸有3個交點

求導,得x^2-(k+1)x+k=(x-k)(x-1)若想有3個交點,在兩個極點1,k就得有一個函式值大於0,一個小於0,討論比較麻煩,你自己來吧

4樓:

f(x+2)=[1+f(x)]/[1-f(x)]

故 f(x+4)=[1+f(x+2)]/[1-f(x+2)]=-1/f(x)

可得 f(x+8)=-1/f(x+4)=f(x)

所以 f(2010)=f(2002)=......=f(2)=1-√3

補充問題解答:

對f(x)求導 f’(x)=x²-x(k+1)在(2,正無窮)上為增函式,f'(x)=[x-(k+1)/2]²-(k+1)²/4

(1)(k+1/2)<=2時即k<=3時,(2,正無窮)上使f'(x)>f'(2)>0得出k<=1

聯立得k<=1

(2)k>3時f'(x)min=f’(k+1/2)=-(k+1)²/4當且僅當k=-1成立與k>3矛盾

由(1)(2) 故k<=1

第二問:設f(x)=f(x)-g(x)

則f'(x)=x²-x(k+1)+k=(x-k)(x-1)

擦好難算啊。

要得到3個交點必須f(1)*f(k)<0.聯立答案自己算

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