1樓：匿名使用者
立體幾何向量法：1建系 2標點 3求法向量 4帶公式
求平面x與平面y所成角a 1求平面x與平面y的法向量能，n1,n2 2判斷a是銳角還是鈍角 3帶公式
1. 基本概念：
1.1. 向量的數量積和座標運算
是兩個非零向量，它們的夾角為 ，則數 叫做 與 的數量積（或內積），記作 ，即 其幾何意義是 的長度與 在 的方向上的投影的乘積. 其座標運算是：
若 ，則
① ；② ；③ ④
1.2. 異面直線 所成的角
分別在直線 上取定向量 則異面直線 所成的角 等於向量 所成的角或其補角（如圖1所示），則 （例如2023年高考數學廣東卷第18題第（2）問）
1.3. 異面直線 的距離
分別在直線 上取定向量 求與向量 都垂直的
向量 ，分別在 上各取一個定點 ，則異面直線 的距離 等於 在 上的射影長，即 .
證明：設 為公垂線段，取 （如圖1所示），則
設直線 所成的角為 ，顯然
1.4. 直線 與平面 所成的角
在 上取定 ，求平面 的法向量 （如圖2所示），再求 ，則 為所求的角.
1.5． 二面角
方法一：構造二面角 的兩個半平面 的法向量 （都取向上的方向，如圖3所示），則
① 若二面角 是「鈍角型」的如圖3甲所示，那麼其大小等於兩法向量 的夾角的補角，即 （例如2023年高考數學廣東卷第18題第（1）問）.
② 若二面角 是「銳角型」的如圖3乙所示，那麼其大小等於兩法向量 的夾角，即 （例如2023年高考數學廣東卷第18題第（1）問）.
方法二：在二面角的稜 上確定兩個點 ，過 分別在平面 內求出與 垂直的向量 （如圖4所示），則二面角 的大小等於向量 的夾角，即
1.6. 平面外一點 到平面 的距離
先求出平面 的法向量 ，在平面內任取一定點 ，則點 到平面 的距離 等於 在 上的射影長，即 .（例如2023年廣州一模第18題第（ⅱ）問）.
1．7． 法向量
上面「1．3～1．6」中，均運用了法向量．但教科書對此只作了簡略的處理，所以我們有必要對它進一步的挖掘和豐富．
錯誤！未找到引用源。直線的法向量：在直線 上取一個定向量 ，則與 垂直的非零向量 叫直線 的法向量．其具體求法見本文〔例2〕之「（ⅰ）解法二」．
錯誤！未找到引用源。平面的法向量：與平面 垂直的非零向量 叫平面 的法向量．其具體求法見本文〔例2〕之「（ⅰ）解法一」．
構造直線或平面的法向量，在求空間角與距離時起到了橋樑的作用，在解題過程中只須求出而不必在圖形中作出來．在空間直角座標系下，構造關於法向量座標的三元一次方程組，得到直線（或平面）的法向量座標的一般形式，再取特值. 其向上或向下的方向可根據豎座標的符號來確定.
由上可見，利用向量的數量積可把求距離、夾角問題轉化為向量的運算，和原來距離、夾角求解中的「作、證、算」有較大差異.掌握了以上的基本概念和方法，就會使解決立體幾何中夾角與距離的問題難度降低，也拓展了我們解決問題的思路.
2. 基本方法：
利用向量解立體幾何中垂直、夾角、距離等問題，其基本方法是：把有關線段與相應的向量聯絡起來，並用已知向量表示未知向量，然後通過向量運算進行計算或證明. 具體地說，有以下兩種基本方法.
2.1. 基向量法
由於空間中任何向量均可由不共面的三個基向量來線性表示，因此在解題時往往根據問題條件首先選擇適當的基向量，把有關線段根據向量的加法、數乘運演算法則與基向量聯絡起來. 再通過向量的代數運算，達到計算或證明的目的. 一般情況下，選擇共點且不共面的三個已知向量作為基向量.
[例 1] 如圖6，已知正三稜柱 的稜長為2，底面邊長為1， 是 的中點.
（1）在直線 上求一點 ，使 ；
（2）當 時，求點 到平面 的距離.
（3）求出 與側面 所成的角.
分析1 （1）的 問題顯然是求使異面直線 與 所成的角為直角的點 .依據向量數量積的概念，必須由條件 ，求出 的長度，而 與 都不是已知向量，且和 沒有直接聯絡，因此必須選擇一組基向量來表示 與 .
（1）解法一：取共點於 的三個不共面的已知向量
為基向量，
分析2 本小題還可以取共點於 的三個不共面的已知向量 為基向量，從而得
（1）解法二：
比較方法一與方法二，方法一比方法二運算簡便. 因為用方法一選擇的一組基向量表示 時式子較為簡單. 這告訴我們可選擇的基向量並不唯一，我們應選擇使得運算簡便的那一組向量作為基向量.
當幾何體中能夠找到（或構造出）三個共點且兩兩垂直的基向量時，我們就可以用下面的方法解決問題.
2.2. 座標法
所謂座標法，就是建立適當的空間直角座標系(本文所建立的都是右手直角座標系)，把向量用座標來表示，用向量的座標形式進行向量的運算，以達到解決問題的目的.
運用座標法時，也必須首先找出三個基向量，並且這三個基向量兩兩垂直,由此建立空間直角座標系. 因而座標法是基向量法的特殊情形，但座標法用於求長度、角度或解決垂直問題時，比較簡單.
在座標法下，例1幾何體中容易找到共點不共面且互相垂直的三個向量，於是有如下解法：
（1）解法三：以 分別為 軸、 軸，垂直於
的 為 軸建立空間直角座標系 ，設 ，則有
. 於是
由上面的解法三可知，通過建立空間直角座標系，找出了相關點的座標，從而把幾何圖形的性質代數化，通過向量的計算解決問題，顯得快捷簡便.在空間直角座標系下，例1的第（2）、（3）問便迎刃而解了. 下面給出解答.
(2)解：當 時，由（1）解法三知，
、，則 ，
設向量 與平面 垂直，則有
取 向量 在 上的射影長即為 到平面 的距離，設為 ，於是
（3）根據上面「1.4. 直線 與平面 所成的角」中所提到的方法，須求出平面 的一個法向量 ，進而求 與 所在直線的夾角。
設平面 的一個法向量為 ，則有
取 ，則
故 與側面 所成的角為： .
本題的解題過程告訴我們，用座標法求空間角與距離，就是用空間向量將空間元素的位置關係轉化為座標表示的數量關係，解題的關鍵是根據幾何體的特點，選取恰當的座標原點和座標軸，一般來說，長方體、正方體中較為容易建立座標系．
高考對空間向量的考查是以立體幾何為載體，利用空間向量求有向線段的長度，求兩條有向線段的夾角（或其餘弦、正弦、正切），二面角、點到平面的距離、異面直線的距離、證明線線、線面、面面垂直等.下面是今年廣東高考數學及廣州一模，體現了高考對空間向量的考查要求.
[例2]（2023年全國普通高等學校招生全國統一考試數學廣東卷第18題）
如右圖8,在長方體abcd—a1b1c1d1中,已知ab= 4, ad =3, aa1= 2. e、f分別是ab、bc上的點，且eb= fb=1.
(1) 求二面角c—de—c1的正切值;
(2) 求直線ec1與fd1所成的角的餘弦值.
解題分析：本題主要考查了二面角、異面直線所成的角等知識和空間想象能力、思維能力、運算能力.高考試卷給出的參***分別用了傳統方法及向量法.
在傳統解法中，運用三垂線定理作出二面角的平面角並正明，通過延長和平移線段作出異面直線所成的角,進而通過解直角三角形和斜三角形解決問題. 在用向量法的解答上，選擇 為空間直角座標系的原點， 分別為 軸， 軸, 軸的正向，這不是右手直角座標系，雖然與右手直角座標系沒有本質上的區別，但教科書中所建立及提倡的是右手直角座標系，所以考生習慣用右手直角座標系. 用向量法解決第（1）問時只是用了本文所提到的「1.
5． 二面角」之「方法一」.
下面本人以自己的習慣，通過建立右手直角座標系來解答，並用本文所提到的「1.5． 二面角」之「方法二」補充第（ⅰ）問的解法二.
解：（i）解法一：以 為原點， 分別為 軸， 軸, 軸的正向
建立空間直角座標系，則有 ,
於是， ,
設向量 與平面 垂直，則有
其中取 ，則 是一個與平面 垂直的向量，
向量 與平面 垂直，
與 所成的角 為二面角 的平面角
（ⅰ）解法二：令 點在 上，且 ，可設 點的座標為 ，則
再令 點在 上，且 ，設 點的座標為 ，則
（ii）設 與 所成角為 ，則
因為本題的已知條件和結論具有一定的解題方向性，它明確告訴我們用向量的方法解決問題. 在高考結束後，本人詢問了自己所任教班級的部分學生，他們大多數能用向量法解這道題. 如果不用向量法，對於中等（或以下）水平的學生，他們連二面角的平面角或異面直線所成的角都作不出來.
可見，用空間向量處理立體幾何中的角與距離問題，可以降低立體幾何的論證、推理難度，使中等（或以下）水平的學生也能很好的掌握，提高得分的能力.
對此問題，我們在高考備考上就有意識地引導學生．英德市在三月份組織了一次全市統考，採用2023年廣州一模試卷，下面的〔例3〕是其中一道考題．
[例3]（2023年廣州一模第18題）如圖，在正四稜柱 中，已知 ， 、 分別為 、 上的點，且
（ⅰ）求證： 平面 ；
（ⅱ）求點 到平面 的距離.
分析：題中幾何體易找到共點且相互垂直的三個基向量，故可通過建立空間直角座標系來達到解題目的．但實際情況是仍有相當部分學生的思維還停留在傳統的幾何法上而未能解出第（ⅱ）問．
解：(ⅰ)以 為原點，以 、 、 的正向分別為 軸、 軸、
軸建立空間直角座標系，則於是且
平面（ⅱ）由(ⅰ)知， 為平面 的一個法向量，
向量 在 上的射影長即為 到平面 的距離，設為 ，於是
故點 到平面 的距離為
考後對學生評講本題的過程中，為了讓他們體會用向量法解題的優越性，我首先用傳統的幾何法，再用向量法來解．通過師生的交流及正確的導向，同學們更好地掌握了用向量法求空間角與距離的一般方法。
以上[例2]、[例3]中的幾何體為長方體，較為容易建立座標系。如果題中幾何體不是長方體或正方體，則考察幾何體中的線線垂直、線面垂直及面面垂直關係. 如：
[例4] （2004高考福建數學卷19）
在三稜椎 中， 是邊長為4的正三角形，平面 平面 ， ， 為 的中點.
（1） 求證 ；
（2）求二面角 的大小；
（3）求點 到平面 的距離.
分析: 如圖10，以 中點 為座標原點, 以 、 、 的正向分別為 軸、 軸、 軸建立空間直角座標系即可得出各相關點的座標．（解略）
〔例5〕把正方形 沿對角線 折起成直二面角，點 ， 分別是 ， 的中點，點 是原正方形的中心，求
（1） 的長；（2）折起後 的吧大小
分析：如圖11，以點 為座標原點，以 、 、 的正向分別為 軸、 軸、 軸建立空間直角座標系，並設正方形邊長為 即可得出各相關點的座標．（解略）
類似的考題在近幾年的高考及全國各省市的模擬試題均可找到.
用向量法求求空間角與距離，要確定向量的座標，就必須選取直角座標系，為了使所得點的座標方便於計算和證明，一定要分析空間幾何體的結構特徵，選其上面合適的點作原點，合適的直線和方向作座標軸，其次要靈活運用平面幾何的知識、直線與平面的知識來找出點的座標。
求過直線3x y 5 0與直線2x 3y 4 0的交點且與圓
聯立3x y 5 0與2x 3y 4 0得x 1,y 2 即該直線過點 1,2 當其斜率不存在時，方程為x 1 當其斜率存在時，設其方程為y 2 k x 1 即kx y k 2 0因為與圓x 2 y 2 1相切 所以 2 k k 1 1 解得k 3 4 則直線方程為3x 4y 5 0或x 1 設所求...
求圓心在直線x y 0上，且過兩圓x平方 y平方 2x
x 0 5 y 0 5 2x 10y 24 0x 0 5 y 0 5 2x 2y 8 0兩式相減得到兩圓交點所在直線方程是x 2y 4 0再聯立直線方程和其中一個圓的方程得 2y 4 0 5 y 0 5 2 2y 4 2y 8 05y 0 5 10y 0解得y 0或2所以兩個交點分別是 4，0 和 ...
已知（a 1） Iab 2I 0求下面等式的值 1（a 1 （b 1 1（a 2 b
因為 a 1 ab 2 0，a 1 和 ab 2 都是非負數 或者說大於等於0的數 而兩個數相加為0，當且僅當他們都為0 a 1 0，a 1 0，a 1 ab 2 0，a 1 ab 2 0 b 2將a 1，b 2帶入 1 ab 1 1 2 1 1 2 1 a 1 b 1 1 2 3 1 2 1 31...