n 2 n即 1 根號2分之一 根號3分之一根號n分之一的和小於2倍根號n

時間 2021-08-30 10:24:05

1樓:匿名使用者

當n=1時

1<2根號1 成立

設1+1/根號2+1/根號3+------+1/根號n=x<2根號n 成立

則x+1/根號(n+1)<2根號n+1/根號(n+1)

2根號(n+1)-2根號n-1/根號(n+1)>0

即x+1/根號(n+1)<2根號n+1/根號(n+1)<2根號(n+1) 成立

所以1+1/根號2+1/根號3+------+1/根號n小於2根號n

或者1/根號k=2/根號k+根號k<2/根號k+根號(k-1).

把2/根號k+根號(k-1)分母有理化,

就得到1/根號k<2[-根號(k-1)+根號k],

然後原式左邊就小於2(0+1-1+根號2-根號2+根號3……-根號(n-1)+根號n=2根號n,得證。

2樓:匿名使用者

因為 1/根號n=2/(2根號n)<2/(根號n+根號(n-1))=2(根號n-根號(n-1)),

所以1+1/根號2+1/根號3+……1/根號n< 2(1-0)+2(根號2-1)+……+2(根號n-根號(n-1))

= 2根號n .

用數學歸納法證明:1+1/根號2+1/根號3+....+1/根號<2根號n 求詳解

3樓:哇哎西西

令n=k時,成立,1+1/√

2+1/√3+┄┄+1/√k<2√k;

當n=k+1時,版上式左邊=1+1/√權2+1/√3+┄┄+1/√k+1/√(k+1),上式右邊=2√k+1/√(k+1),

∵4k²+4k<4k²+4k+1,∴2√k√(k+1)<2k+1,∴2√k√(k+1)+1<2k+2,∴2√k+1/√(k+1)<2√(k+1),

則上式右邊=2√k+1/√(k+1)<2√(k+1),即1+1/√2+1/√3+┄┄+1/√k+1/√(k+1)<2√(k+1)成立。

4樓:匿名使用者

當n=1時,左邊=1<2=右邊,不等式成立;

假設當n=k時不等式成立,

即1+1/√2+1/√3+....+1/√k<2√k (1)下證當n=k+1時也成立

(1)兩邊專同時加1/√(k+1)得:

左邊=1+1/√2+1/√3+....+1/√k+1/√(k+1)<2√k+[1/√(k+1)]=[2√k*√(k+1)+1]/√(k+1) (2)

下面證明:2√k*√(k+1)+1<2(k+1)即證:2√k*√(k+1)<2k+1

兩邊平方,即屬證:4k(k+1)<4k²+4k+1,此式顯然成立,因此2√k*√(k+1)+1<2(k+1)對於(2)

左邊<[2√k*√(k+1)+1]/√(k+1)<2(k+1)/√(k+1)=2√(k+1)=右邊

因此當n=k+1時,不等式成立,證畢。

5樓:匿名使用者

n=1時 左邊du=1 右邊=2 成立zhi假設n=k時成立

即1+1/√

dao2+1/√3+.....+1/√k<2√k那麼n=k+1時

左邊版=1+1/√2+1/√3+.....+1/√k+1/√(k+1)

<2√k +1/√(k+1)

=2√k + 2/ 2√(k+1)

<2√k +2/[√(k+1) +√k]

=2√k +2√(k+1) -2√k

=2√(k+1)

即n=k+1時也成權立

所以對一切 n∈n*,均有1+1/√2+1/√3+.....+1/√n<2√n

6樓:匿名使用者

證明:當n=1時,1<

2成立。 假設當版n=k,1+1/根號權2+1/根號3+...+1/根號k<2根號k 成立;則當n=k+1時,1+1/根號2+1/根號3+...

+1/根號k+1/根號(k+1)<2根號k+1/根號(k+1)通分2√k+1/√(k+1)=(2√k√(k+1)+1)/√k+1,∵2√k√(k+1)+1<k+k+1+1(此處運用均值不等式因為k不可能等於k+1,所以等號不成立).而2√(k+1)=2√(k+1)^2/√(k+1),2√(k+1)^2=k+k+1+1(因為k+1=k+1,所以取等),∴2√k√(k+1)+1<2√(k+1)^2∴2√k+1/√(k+1)<2√(k+1)∴當n=k+1時,1+1/根號2+1/根號3+...+1/根號k+1/根號(k+1)<2根號(k+1)成立∴對於任何n∈n+ 此不等式均成立。

7樓:匿名使用者

n=1時 1<2√

1=2成立

若當daon=k時,版1+1/√權2+...+1/√k<2√k成立則當n=k+1時,1+1/√2+...+1/√k+1/√(k+1)<2√k+1/√(k+1)

因為2√(k+1)-2√k

=2(√(k+1)-√k)(√(k+1)+√k)/(√(k+1)+√k)

=2/(√(k+1)+√k)

>2/(2√(k+1))

=1/√(k+1)

所以2√(k+1)>2√k+1/√(k+1)>1+1/√2+...+1/√(k+1),得證

8樓:匿名使用者

^^用縮bai放說 f(n)=1+1/2+1/3+...+1/(2^dun)-1-n/2 g(n)=1+1/2+1/3+...+1/(2^n)-1/2-n f(1)=1+1/2-1-1/2=0 若zhif(n)≥0 f(n+1)=1+1/2+1/3+...

+1/(2^n)-1-n/2+1+n/2-1-(n+1)/2+1/(2^n +1)+…dao1/2^(n +1) 而f(n)≥0 1/(2^n +1)+…1/2^(n +1) ≥[2^(n+1)-2^n-1+1]/2^(n+1)=1/2 f(n+1)≥0

9樓:鞠天國

1 n=1時,顯然成立

2 假設n=k時成立 即

1+1/更號回2+…+1/根號

答k<1/根號k

n=k+1時

左邊=(1+1/根號2+…+1/根號k)+1/根號k+1<2根號k+1/根號k+1

2根號k+1- (2根號k+1/根號k+1)=2(根號k+1-根號k)-1/根號k+ 1=2( (根號k+1-根號k)*( 根號k+1+根號k))/ (根號k+1+根號k) -1/根號k+ 1

=2/ (根號k+1+根號k)-1/根號k+1>2/ (根號k+1+根號k+1)-1/根號k+1=0所以左邊- 2根號k+1<0

即左邊《右邊

綜上所述 成立

證明 1+(1/根號2)+(1/根號3)+...+(1/根號n) - 2根號n 有極限

10樓:王科律師

解:1/√

zhin=2/(√daon+√專n)>2/(√屬n+1+√n)=2(√n+1 -√n)

所以1+1/√2+1/√3+...+1/√n>2(√2-1)+2(√3-√2)+2(√4-√3)+...+2(√n+1-√n)

=2(√n+1-1)

右邊也一樣,1/√n=2/(√n+√n)<2/(√n-1+√n)=2(√n -√n-1)

11樓:匿名使用者

這明明是單調遞增好嗎

1/(1+√2)+1/(√2+√3)+1/(√3+2)+……+1/(√n+√n+1)

12樓:吳文

把分母有理化

1/(1+√

2)+1/(√2+√3)+1/(√3+2)+……+1/(√n+√n+1)

=(√2-1)/[(1+√2)(√2-1)] +(√3-√2)/[(√2+√3)(√3-√2)]+......+

(√(n+1)-√n)/[(√n+√(n+1))((n+1)-√n)]

=(√2-1)+(√3-√2)+(2-√3)+......+(√(n+1)-√n)

=√(n+1)-1

13樓:巽爇曦

每一項分子分母同時乘以(√n-√n+1) 最後化簡為√(n+1)-1

14樓:year相信自己

=√2-1+(√3-√2)+(2-√3)+……+(√n+1-√n)=(√n+1)-1

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