一元二次方程根與係數的關係講解,一元二次方程中 根與係數的關係是什麼

時間 2021-09-05 14:13:03

1樓:匿名使用者

一元二次方程的解法

一、知識要點:

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中數學的一個重點內容,也是今後學習數學的基

礎,應引起同學們的重視。

一元二次方程的一般形式為:ax2+bx+c=0, (a≠0),它是隻含一個未知數,並且未知數的最高次數是2

的整式方程。

解一元二次方程的基本思想方法是通過「降次」將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解

法:1、直接開平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。

二、方法、例題精講:

1、直接開平方法:

直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的

方程,其解為x=m± .

例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11

分析:(1)此方程顯然用直接開平方法好做,(2)方程左邊是完全平方式(3x-4)2,右邊=11>0,所以

此方程也可用直接開平方法解。

(1)解:(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丟解)

∴x=∴原方程的解為x1=,x2=

(2)解: 9x2-24x+16=11

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=±

∴x=∴原方程的解為x1=,x2=

2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)

先將常數c移到方程右邊:ax2+bx=-c

將二次項係數化為1:x2+x=-

方程兩邊分別加上一次項係數的一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2

方程左邊成為一個完全平方式:(x+ )2=

當b2-4ac≥0時,x+ =±

∴x=(這就是求根公式)

例2.用配方法解方程 3x2-4x-2=0

解:將常數項移到方程右邊 3x2-4x=2

將二次項係數化為1:x2-x=

方程兩邊都加上一次項係數一半的平方:x2-x+( )2= +( )2

配方:(x-)2=

直接開平方得:x-=±

∴x=∴原方程的解為x1=,x2= .

3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然後計算判別式△=b2-4ac的值,當b2-4ac≥0時,把各項

係數a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3.用公式法解方程 2x2-8x=-5

解:將方程化為一般形式:2x2-8x+5=0

∴a=2, b=-8, c=5

b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

∴x= = =

∴原方程的解為x1=,x2= .

4.因式分解法:把方程變形為一邊是零,把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式,讓

兩個一次因式分別等於零,得到兩個一元一次方程,解這兩個一元一次方程所得到的根,就是原方程的兩個

根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4.用因式分解法解下列方程:

(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0

(3) 6x2+5x-50=0 (選學) (4)x2-2( + )x+4=0 (選學)

(1)解:(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得

x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式,右邊為零)

(x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式)

∴x-5=0或x+2=0 (轉化成兩個一元一次方程)

∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

(2)解:2x2+3x=0

x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式)

∴x=0或2x+3=0 (轉化成兩個一元一次方程)

∴x1=0,x2=-是原方程的解。

注意:有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解,應記住一元二次方程有兩個解。

(3)解:6x2+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)

∴2x-5=0或3x+10=0

∴x1=, x2=- 是原方程的解。

(4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解為2 ·2 ,∴此題可用因式分解法)

(x-2)(x-2 )=0

∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。

小結:一般解一元二次方程,最常用的方法還是因式分解法,在應用因式分解法時,一般要先將方程寫成一般

形式,同時應使二次項係數化為正數。

直接開平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用於任何一元二次方程(有人稱之為萬能法),在使用公式

法時,一定要把原方程化成一般形式,以便確定係數,而且在用公式前應先計算判別式的值,以便判斷方程

是否有解。

配方法是推導公式的工具,掌握公式法後就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法

解一元二次方程。但是,配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用,是初中要求掌握的三種重要的數學方

法之一,一定要掌握好。(三種重要的數學方法:換元法,配方法,待定係數法)。

例5.用適當的方法解下列方程。(選學)

(1)4(x+2)2-9(x-3)2=0 (2)x2+(2-)x+ -3=0

(3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

分析:(1)首先應觀察題目有無特點,不要盲目地先做乘法運算。觀察後發現,方程左邊可用平方差

公式分解因式,化成兩個一次因式的乘積。

(2)可用十字相乘法將方程左邊因式分解。

(3)化成一般形式後利用公式法解。

(4)把方程變形為 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然後可利用十字相乘法因式分解。

(1)解:4(x+2)2-9(x-3)2=0

[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0

(5x-5)(-x+13)=0

5x-5=0或-x+13=0

∴x1=1,x2=13

(2)解: x2+(2- )x+ -3=0

[x-(-3)](x-1)=0

x-(-3)=0或x-1=0

∴x1=-3,x2=1

(3)解:x2-2 x=-

x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)

△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0

∴x=∴x1=,x2=

(4)解:4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0

[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0

2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0

∴x1= ,x2=

例6.求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (選學)

分析:此方程如果先做乘方,乘法,合併同類項化成一般形式後再做將會比較繁瑣,仔細觀察題目,我

們發現如果把x+1和x-4分別看作一個整體,則方程左邊可用十字相乘法分解因式(實際上是運用換元的方

法) 解:[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0

即 (5x-5)(2x-3)=0

∴5(x-1)(2x-3)=0

(x-1)(2x-3)=0

∴x-1=0或2x-3=0

∴x1=1,x2=是原方程的解。

課外拓展

一元二次方程

一元二次方程(quadratic equation of one variable)是指含有一個未知數且未知數的最高次項是二

次的整式方程。 一般形式為

ax2+bx+c=0, (a≠0)

在公元前兩千年左右,一元二次方程及其解法已出現於古巴比倫人的泥板文書中:求出一個數使它與它

的倒數之和等於 一個已給數,即求出這樣的x與,使

x=1, x+ =b,

x2-bx+1=0,

他們做出( )2;再做出 ,然後得出解答:+ 及 - 。可見巴比倫人已知道一元二次

方程求根公式。但他們當時並不接受 負數,所以負根是略而不提的。

埃及的紙草文書中也涉及到最簡單的二次方程,例如:ax2=b。

在公元前4、5世紀時,我國已掌握了一元二次方程的求根公式。

希臘的丟番圖(246-330)卻只取二次方程的一個正根,即使遇到兩個都是正根的情況,他亦只取其中

之一。公元628年,從印度的婆羅摩笈多寫成的《婆羅摩修正體系》中,得到二次方程x2+px+q=0的一個求根公

式。 在阿拉伯阿爾.花拉子米的《代數學》中討論到方程的解法,解出了一次、二次方程,其中涉及到六種

不同的形式,令 a、b、c為正數,如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次方程分成

不同形式作討論,是依照丟番圖的做法。阿爾.花拉子米除了給出二次方程的幾種特殊解法外,還第一 次

給出二次方程的一般解法,承認方程有兩個根,並有無理根存在,但卻未有虛根的認識。十六世紀義大利的

數學家們為了解三次方程而開始應用複數根。

韋達(1540-1603)除已知一元方程在複數範圍內恆有解外,還給出根與係數的關係。

我國《九章算術.勾股》章中的第二十題是通過求相當於 x2+34x-71000=0的正根而解決的。我國數學

家還在方程的研究中應用了內插法。

2樓:匿名使用者

設x1和x2是方程ax平方+bx+c=0,則x1+x2=-a分之b,x1乘以x2=a分c。

3樓:匿名使用者

=(-b+ -根號下(b平方-4ac))/2a

一元二次方程中 根與係數的關係是什麼

4樓:魔笛

在一元二次方程ax²+bx+c中(a≠0,a,b,c皆為常數)兩根x1,x2與係數的關係:x1+x2=-b/a x1x2=c/a前提條件:判別式△=b²-4ac大於等於0,根與係數的關係簡單相關係數:

又叫相關係數或線性相關係數。它一般用字母r 表示。它是用來度量定量變數間的線性相關關係。

復相關係數:又叫多重相關係數複相關是指因變數與多個自變數之間的相關關係。例如,某種商品的需求量與其**水平、職工收入水平等現象之間呈現複相關系。

性質又叫部分相關係數:部分相關係數反映校正其它變數後某一變數與另一變數的相關關係,校正的意思可以理解為假定其它變數都取值為均數。 偏相關係數的假設檢驗等同於偏回歸係數的t檢驗。

復相關係數的假設檢驗等同於迴歸方程的方差分析。

可決係數是相關係數的平方。

意義:可決係數越大,自變數對因變數的解釋程度越高,自變數引起的變動佔總變動的百分比高。觀察點在迴歸直線附近越密集。

一元二次方程根與係數關係,一元二次方程根與係數的關係怎麼表達

x 2 2 k 3 x 2 k 4 0 2 k 3 2 4 2 k 4 4 k 2 20 k 25 2 k 5 2 0 當且僅當 k 5 2 時,判別式為 0 x1 x2 2 k 3 x1 x2 2 k 4 1 有兩個正根,說明 它們同號,且均大於0 所以 x1 x2 0 x1 x2 0 所以 2 ...

二次函式與一元二次方程的關係,一元二次方程和二次函式關係怎麼講

假設二次函式為 f x ax 2 bx c 一元二次方程為 ax 2 bx c 0 那麼方程的解就是函式曲線與x軸的交點橫座標。如果函式曲線與x軸沒有交點,則方程沒有實根 如果只有一個交點,則方程有一個重根 如果有兩個交點,則方程有兩個實根。 張家主任 一個二次函式影象如果與x 軸有兩個交點,那麼這...

一元二次方程有整數根條件,一元二次方程的根為整數需滿足什麼條件

例1 m是非負整數,且關於x的一元二次方程 1 m2 x2 2 1 m x 1 0有兩個實數根,求m的值及對應方程的根。分析 本題關鍵是求m的值。因已指明此方程是一元二次方程,所以 二次項係數不等於零 1 m2 0 在此前提下,因方程有兩個實數根,所 以 0。再結合m為非負整數,從而求出m的值,把m...