函式f x)x 1 x 2是定義在( 1,1)的奇函式且f

時間 2021-09-14 13:13:36

1樓:巧客手工

解:1、f(x)=(ax+b)/(1+x^2)因為:f(x)是奇函式,

所以:f(0)=b=0,即:f(x)=ax/(1+x^2)。

又因為f(1/2)=2/5

所以:a(1/2)/(1+(1/2)^2)=2/5即:a(1/2)/(1+1/4)=a(2/5)=2/5所以:a=1

所以,所求解析式為:f(x)=x/(1+x^2)。

2、設x1<x2,且x1,x2∈(-1,1)f(x2)-f(x1)=x2/(1+x2^2)-x1/(1+x1^2)

=[x2(1+x1^2)-x1(1+x2^2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]

顯然,上式中分母>0,我們只需考查分子。

分子=x2+x2(x1^2)-x1-x1(x2^2)=(x2-x1)-x1x2(x2-x1)

=(x2-x1)(1-x1x2)

因為x1,x2∈(-1,1),所以x1x2<1,即:1-x1x2>0又因為x1<x2,所以x2-x1>0

所以:當x2>x1時,f(x2)>f(x1)即:在(-1,1)定義域內,f(x)是增函式。

補充答案:

呵呵,樓主提出了第三問。那我就試試。

3、解不等式f(t-1)+f(t)<0

解法一:因為:f(x)=x/(1+x^2)。

所以不等式變為:

(t-1)/(1+(t-1)^2)+t/(1+t^2)<0[(t-1)(t^2+1)+t((t-1)^2+1)]/[(1+(t-1)^2)(1+t^2)]<0

因為分母>0,

所以(t-1)(t^2+1)+t((t-1)^2+1)<0即:2t^3-3t^2+3t-1<0

t^3+(t-1)^3<0

t^3-(1-t)^3<0

因為t-1,t∈(-1,1),所以t∈(0,1)。

所以上述不等式變為

t^3<(1-t)^3

t<1-t

2t<1

t<1/2

前面我們有t∈(0,1),

所以,不等式的解為:

0<t<1/2

解法二:因為f(x)是奇函式,即:f(-x)=-f(x)所以不等式變為f(t-1)<f(-t)

又因為:f(x)=x/(1+x^2)

所以:(t-1)/(1+(t-1)^2)<-t/(1+t^2)(t-1)(t^2+1)<-t((t-1)^2+1)t^3-t^2+t-1<-t^3+2t^2-2tt^3<-(t^3-3t^2-3t-1)

t^3<-(t-1)^3

t<-(t-1)

所以:t<1/2。

又因為:對於f(x),有x∈(-1,1)。

所以:t-1,t∈(-1,1),即:t∈(0,1)。

所以,不等式的解為:0<t<1/2。

2樓:手機使用者

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