利用基本不等式求函式最值的疑惑,基本不等式應用和求最值的問題一般如何思考

時間 2021-08-11 18:14:17

1樓:匿名使用者

8/x+1/y=1

y=1/(1-8/x)=x/(x-8)=1+8/(x-8)∵8/x+1/y=1,x>0,y>0

∴x>8,y>1

∴x+2y=x+2+16/(x-8)

=(x-8)+16/(x-8)+10

≥2√16+10=18

當且僅當x-8=16/(x-8),即x=12時取得等號,此時y=1+8/(x-8)=3

∴並不是x=2y時,x+2y取得最小值。

2樓:匿名使用者

一般情況下求解a+b(a>0,b>0)的最小值時是當且僅當a=b時有最小值;但是對於這種有前提條件的情況,就不能簡單地確定了。

對於本題:前提條件數是8/x+1/y=1,則x+2y=(x+2y)×1=(x+2y)×(8/x+1/y)=8+x/y+16y/x+2=10+(x/y+16y/x)≥10+2√(x/y+16y/x)=10+2×4=18 這個時候是當x/y=16y/x時才能取得最小值。

3樓:考今

(x+2y)(8/x+1/y)=8+2+16y/x+x/y≧10+√16y/x×x/y=14

基本不等式應用和求最值的問題一般如何思考?

4樓:櫻小淺

一正 (即基本不等式的未知數為正數)

二定 (求和的時候先定積的大小,求積的時候先定和的大小→根據基本不等式)

三相等 (當且僅當一個未知數等於另一個未知數時取等號)

這是別人寫的。

總之就是盡力去湊啦。

像這份東西里也有提到湊拉。

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45、購房貸款決策問題

研究性學習的問題與課題 (來自《數學百草園》,作者葉挺彪)

《 立幾部分 》

問題1平幾中證點共線、線共點往往較難,通常出現在競賽中。而立幾中的這類問題卻是非簡單,主要的依據僅僅是平面的基本性質:兩個平面的公共點共線。

可否將平幾問題的這類問題進行升維處理。即把它轉化為立幾問世題加以解答。

問題2用運變化的觀點對待數學問題,將會發現問題的實質及問題之間的聯絡,但對於立幾中的這方面還顯得不夠,可以通過整理、收集這方面的材料加以綜合研究。

問題3 作為降維處理的一個例子:可考慮異面直線距離的幾種轉化,如轉化為線面距、點線距、面面距等。

問題4異面直線的距離是:異面直線上兩動點的連線中最短的線段長度。所以可以用函式的觀點來解決。即建立一個兩動點的距離函式,利用求函式的最小值達到目的。

問題5立幾中的許多問題可化歸為確定點在平面內的射影位置。如點面距、點線距、體積等。於是確定點在平面內的射影顯得非常重要,試給出一種通用方法進行確定。

問題6作二面角的平面角是立幾中的難點,常用方法有:定義法、三垂線法、垂面法。其實質是以點定位,即當點在二面角的稜上時用定義法、當點在一個半平面內時用三垂線法、當點在空間時時用垂面法。

問題似乎已解決。但對於較複雜的圖形,由於點的個數較多,以哪個點作為定位點就難以決定。試給出以線定位來作二面角的平面角的方法及步驟。

問題7等積變換在立幾中大顯上內身手,而非等積變換是它的一般情形,作用更大,卻被人們所忽視。利用非等積變換能解決求體積、求距離、證明位置關係等問題。試利用類比平幾的相應方法探索之。

問題8 將三垂線定理進行推廣與引伸,即所謂三面角的正、餘弦定理及其特例直三面角的正、餘弦定理。以開闊眼界。

《解幾部分 》

問題9對於數學的公式,我們應當做到三會:即正用、變用和逆用。如解幾中有許多公式如兩點距離、點到直線距離公式,定比分點、斜率公式等,考慮其逆用,就可得到構造法證題,試研究解幾中的各種公式逆用,以充實構造法證明。

問題10

我們對待任何問題(包括解決數學問題)往往用自己的審美意識去審視,以調節自己的行動計劃。在解幾中探索與蒐集以美的啟迪思維的題材,加以整理與綜合研究。

問題11 整理解幾中常常被人忽視和特例而使問題的解決不完整的有素材,如用點斜式而忽視斜率存在,截距式而忽視截距為零等。

問題12 利用角引數與距離引數的相互轉化以實現命題的演變,達到以點帶面,觸類旁通的目的。

問題13 將與中點有關的問題及解決方法進行推廣,使之適用於定比分點的相應問題與方法。

問題14 研究求軌跡問題中的座標轉移法與引數法的相互聯絡。

問題15 關於斜率為 1的特殊直線的對稱問題的簡捷解法中,概括出適用範圍更加廣闊的解題策略。

問題16

解決橢圓問題不如圓容易,能否使問題化歸,即橢圓問題的圓化處理,進而研究圓錐曲線(包括其退化情形如兩條相交線,平行線等)的圓化處理。

問題17 整理與焦半徑有關的問題,並將之「純代數化」,進而研究其「純代數解法」,從中探索新方法。

問題18 把點差法解中點弦問題進行推廣,使之能解決「定比分點弦」問題。

問題19 求軌跡問題中,純粹性的簡捷判別。

問題20 在定比分點公式、弦長公式、點到直線的距離公式的推導過程中隱含著「射影思想」,擴大這思想在解幾中的地位或功能。

問題21 對平移變換的解題功能進行綜述。

問題22

與中點弦有關的圓錐曲線中的引數範圍確定問題,往往需要建立不等式進行求解,各種方法中以點在曲線內部條件為隹。試將這方法推廣到定比分點弦的情形。

《函式部分 》

問題23 空集是一切集合的子集,但在解決關集合問題時,常常忽略這一事實。試整理這方面的各類問題。

問題24 整理求定義域的規則及型別(特別是複合函式的型別)。

問題25

求函式的值域、單調區間、最小正週期等有關問題時,往往希望將自變數在一個地方出現,所以變數集中的原則就提供瞭解題的方向,試研究所有與變數集中原則有關的型別(如配方法、帶餘除法等)。

問題26 總結求函式值域的有關方法,探索判別式法的一般情形——實根分佈的條件用於求值域。

問題27 利用條件最值的幾何背景進行命題演變,與命題分類。

問題28

回顧解指數、對數方程(不等式)的化歸實質(利用外層函式的單調性去掉兩邊的外層函式的符號),我們稱之為「給函式更衣」,於是我們可以隨心所欲地將方程(不等式)進行演變。你能利用這一點編擬一些好題嗎。

問題29 探求「反函式是它本身」的所有函式。從而可解決一類含抽象函式的方程,概括所有這種方程的型別。

問題30 在原點有定義的奇函式,其隱含條件是f(0)=0,試以這一事實編擬、演變命題。

問題31 把兩面鏡子相對而立,若你處於其中,將看到許多肖像位置呈現出週期性,你能把這一事實數學化嗎?若把軸對稱改為中心對稱又怎麼結論?

問題32

對於含引數的方程(不等式),若已知解的情況確定引數的取值範圍,我們通常用函式思想及數形結合思想進行分離引數,試概括問題的型別,總結分離引數法。

問題33 改變含引數的方程(不等式)的主元與引數的地位進行命題的演變。探索換主元的功能。

《三角部分 》

問題34 數形結合是數學中的重要的思想方法之一,而單位圓中的三角函式線卻被人們所遺忘,試探它在解決三角問題中的數形結合功能。

問題35 概括sinx+cosx=a時相應x的取值範圍,及問題條件中涉及這一條件時的所隱含的結論。

問題36 整理三角代換的的型別,及其能解決的哪幾類問題。

問題37 三角最值的構造證法中,型如 ,可轉化成:1)動點(ccosx.asinx)與定點(-d,-b)連線的斜率;2)或先化為

從而轉化為動點(cosx.sinx)與定點 連線斜率等,考慮各種構造法的背景的聯絡,能否以此聯絡用於解決幾何問題。

問題38 一個三角公式不僅能正用,還需會逆用與變用,試將後者整理之。

問題39 概括三角恆等式證明中的一次弦式、高次弦式和切式證明的常用方法。

問題40

三角形的形狀判定中,對於含邊角混合關係的條件,利用正、餘弦定理總有兩種轉化,即轉化為角關係或邊關係,探索其中一種對另一種解法的啟示功能。

《不等式部分 》

問題41

一個數學命題若從正面入手分類情況較多,運算量較大,甚至無法求解,此時不妨考慮其反面進行求解得解集,然後再取其補集即得原命題的解。我們把它稱為「補集法」,試整理常見的型別的補集法。

問題42 概括使用均值不等式求最值問題中的「湊」的技巧 ,及拆項、添項的技巧。

問題43 觀察式子的結構特徵,如分析式子中的指數、係數等啟示證題的的方向。

問題44 探求一此著名不等式(如柯西不等式、排序不等式等)和多種證法,尋找其背景以加深對不等式的理解。

問題45 整理常用的一此代換(三角代換、均值代換等),探索它在命題轉化中的功能。

問題46 考慮均值不等式的變用,及改變之後的不等式的背景意義。

問題47 分母為多項式的輪換對稱不等式,由於難以參於通分,證明往往較難。探求一種代換,將分母為多項式的轉化為單項式。

問題48 探索絕對值不等式和物理模擬法

高中基本不等式求最大最小值

1 y 2x 3 x x大於0 的最小值。x 0則y 2x 3 2x 3 2x 3 2x 3 2x 3 2x 1 3 這是由a b c 3 abc 1 3 得到的 3 9 2 1 3 3 2 36 1 3 當且僅當2x 3 2x 時取等號即x 3 4 1 3 1 2 6 1 3 1 3 表示開立方根...

基本不等式題目解答,基本不等式 為什麼我的演算法答案不對?

解 基本原理 算術平均值 幾何平均值 1.拆項 x 2 4 x x 2 2 x 2 x 3 3次根號下 x 2 2 x 2 x 3 3次根號下4 取等條件 x 2 2 x,即 x 3次根號下2 2.還是拆項 y x 2 1 3x 4 9 3x 2 3x 2 1 3x 4 9 1 3 3x 2 3x ...

重要問題用基本不等式求最大值或者最小值可以用三相等反推嗎

spider網路 1 第二張圖,用這個方法,也是對的,沒有什麼問題。2 ab a2 b2 2,a b相等時,ab有最大值,這個不等式的定義域是a,b均為實數。3 第一個題,兩個乘積中x的係數均為1,可以直接適用上述不等式。但是第二個題,兩個乘積項中,x的係數不是1,不能直接套用上述不等式,因為定義域...