ln x 1 x 2和x等價無窮小的證明過程

時間 2021-09-04 17:38:16

1樓:大白奶兔糖

具體回答如下:lim(x→0) ln(1+x)/x

=lim(x→0) ln(1+x)^(1/x)=ln[lim(x→0) (1+x)^(1/x)]由兩個重要極限知lim(x→0) (1+x)^(1/x)=e所以原式=lne=1,所以ln(1+x)和x是等價無窮小。

求極限時,使用等價無窮小的條件:1、被代換的量,在取極限的時候極限值為0。

2、被代換的量,作為被乘或者被除的元素時可以用等價無窮小代換,但是作為加減的元素時就不可以。

2樓:匿名使用者

∵lim0>[(√(1+x²)-1)/x]=0

lim0>[(ln(1+x)+x²)/x]=1

∴當x->0時,ln(1+x)+x²與x等價。

極限

變數在一定的變化過程中,從總的來說逐漸穩定的這樣一種變化趨勢以及所趨向的數值(極限值)。極限方法是數學分析用以研究函式的基本方法,分析的各種基本概念,所以極限概念的精確定義是十分必要的,它是涉及分析的理論和計算是否可靠的根本問題。

歷史上是柯西(cauchy,a.-l.)首先較為明確地給出了極限的一般定義。

他說,“當為同一個變數所有的一系列值無限趨近於某個定值,並且最終與它的差要多小就有多小”,這個定值就稱為這個變數的極限。

其後,外爾斯特拉斯(weierstrass,k.(t.w.

))按照這個思想給出嚴格定量的極限定義,這就是數學分析中使用的ε-δ定義或ε-ν定義等。從此,各種極限問題才有了切實可行的判別準則。在分析學的其他學科中,極限的概念也有同樣的重要性,在泛函分析和點集拓撲等學科中還有一些推廣。

3樓:匿名使用者

解:∵lim0>[(√(1+x²)-1)/x]=0

lim0>[(ln(1+x)+x²)/x]=1

∴當x->0時,ln(1+x)+x²與x等價。

4樓:數碼答疑

=[ln(x+1)+x^2]/x=1/(x+1)+2x=1

當x趨向於0時,ln(1+x)~x等價無窮小的證明

5樓:drar_迪麗熱巴

lim(x→0) ln(1+x)/x=lim(x→0) ln(1+x)^(1/x)=ln[lim(x→0) (1+x)^(1/x)]

由兩個重要極限知:lim(x→0) (1+x)^(1/x)=e,所以原式=lne=1,

所以ln(1+x)和x是等價無窮小

等價無窮小是無窮小的一種。在同一點上,這兩個無窮小之比的極限為1,稱這兩個無窮小是等價的。等價無窮小也是同階無窮小。

另一方面來說,等價無窮小也可以看成是泰勒公式在零點到一階的泰勒公式。

極限方法是數學分析用以研究函式的基本方法,分析的各種基本概念(連續、微分、積分和級數)都是建立在極限概念的基礎之上,然後才有分析的全部理論、計算和應用.所以極限概念的精確定義是十分必要的,它是涉及分析的理論和計算是否可靠的根本問題。

歷史上是柯西(cauchy,a.-l.)首先較為明確地給出了極限的一般定義。

他說,“當為同一個變數所有的一系列值無限趨近於某個定值,並且最終與它的差要多小就有多小”(《分析教程》,1821),這個定值就稱為這個變數的極限.其後,外爾斯特拉斯(weierstrass,k.(t.

w.))按照這個思想給出嚴格定量的極限定義,這就是現在數學分析中使用的ε-δ定義或ε-ν定義等。

6樓:匿名使用者

ln(1+x)~x

不用洛必達法則證明

就只能用泰勒公式了

下面那個用到了對數的性質

真數相乘=對數相加

過程如下:

7樓:匿名使用者

limf[g(x)]可以變f[limg(x)],連續函式裡有這個定理。

為什麼ln(1+x)+x^2與x是等價無窮小?當x趨向於0時。

8樓:匿名使用者

由洛必達法則

lim(ln(1+x)+x^2)/2

=lim(1/(1+x)+2x)

當x趨於0

第二個極限可以用x=0帶入得1

根據等價無窮小的定義,相除極限為1,所以是等價無窮小

證明:當x趨向於0時,ln(1+x)~x等價無窮小。

9樓:不知世界從何來

^lim(x→0) ln(1+x)/x

=lim(x→0) ln(1+x)^(1/x)=ln[lim(x→0) (1+x)^(1/x)]由兩個重要極限知:lim(x→0) (1+x)^(1/x)=e;

所以原式=lne=1,所以ln(1+x)和x是等價無窮小無窮小就是以數零為極限的變數。然而常量是變數的特殊一類,就像直線屬於曲線的一種。因此常量也是可以當做變數來研究的。

這麼說來——0是可以作為無窮小的常數。從另一方面來說,等價無窮小也可以看成是泰勒公式在零點到一階的泰勒公式。

等價無窮小的定義

(c為常數),就說b是a的n階的無窮小, b和a^n是同階無窮小。特殊地,c=1且n=1,即

當x趨向於0時,ln(1+x)~x等價無窮小的證明。

10樓:閆諾沙高潔

^lim(x→

bai0)

ln(1+x)/x=lim(x→0)

ln(1+x)^du(1/x)=ln[lim(x→0)(1+x)^(1/x)]

由兩個重要極zhi限知:lim(x→0)

(1+x)^(1/x)=e,所以

原dao式=lne=1,

所以ln(1+x)和回x是等價無答窮小

x趨向於0,lim ln(1+x)/x^2運用等價無窮小化為1/x,所以答案為無窮大?這樣做對嗎

11樓:佘佑平智溪

法一:x趨向於0時,

ln(1+x)也趨於零,且ln(1+x)與x^2是除法的關係,所以此時可以使用無窮小量替換

ln(1+x)可替換為x

lim(x→0)

ln(1+x)/x^2=lim

1/x=∞

法二:x趨向於0時,ln(1+x)與x^2都趨於零,根據洛必達法則,對分子分母分別求導

lim(x→0)

ln(1+x)/x^2=lim

(x→0)

1/2x(x+1)=∞

x趨向於0時(ln(x+1)-x)/x^2的極限,不用洛必達法則,用定義或等價無窮小

12樓:匿名使用者

解:抄∵當

襲x趨向於0時,ln(x+1)~x-x²/2∴lim(x->0)[(ln(x+1)-x)/x²]=lim(x->0)[(x-x²/2-x)/x²]

=lim(x->0)(-1/2)

=-1/2。

13樓:

將其看成在x=1處的導數定義來求

當x 0時,1 x 1 x與x為什麼是等價無窮小,該怎麼算

當x 0時,1 x 1 x x 2x x 1 x 1 x 2 1 x 1 x 1,所以其是等價無窮小。等價無窮小是無窮小的一種。在同一點上,這兩個無窮小之比的極限為1,稱這兩個無窮小是等價的。等價無窮小也是同階無窮小。從另一方面來說,等價無窮小也可以看成是泰勒公式在零點到一階的泰勒公式。當x 0時 ...

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