高等數學基礎問題，高等數學基礎問題

1樓：林清眾終天尊

利用拉格朗日乘數法求平面x+2y+z=1上一點,使該點到原點的距離最小

設平面x+2y+z=1上一點座標為(x,y,z),則該點到原點距離的平方可表示為d(x,y,z)=x^2+y^2+z^2,該問題轉化為求d(x,y,z)在條件φ(x,y,z)=x+2y+z-1=0下的極值.作拉格朗日函式l(x,y,z)=d(x,y,z)+λφ(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+λ(x+2y+z-1),分別求l(x,y,z)對x,y,z的偏導數並令其等於0.可得 x=z=-λ/2,y=-λ.

將其代入條件x+2y+z-1=0,得λ=-1/3,所以x=z=1/6,y=1/3,d=1/6,即平面x+2y+z=1上的點(1/6,1/3,1/6)到原點距離最小,最小距離為1/根號6.

2樓：匿名使用者

曲面 xy-z^2+1 = 0 上的點到原點距離的平方是 x^2+y^2+z^2,

問題歸結為求滿足條件 xy-z^2+1 = 0 時， x^2+y^2+z^2 的最小值，

故構造拉格朗日函式 l = x^2+y^2+z^2 + k(xy-z^2+1)

∂l/∂x = 0, 2x+ky = 0 , 即 2x = -ky (1)

∂l/∂y = 0, 2y+kx = 0 , 即 2y = -kx (2)

∂l/∂z = 0, 2z-2kz = 0 , 即 z(1-k) = 0 (3)

∂l/∂k = 0, xy-z^2+1 = 0. (4)

(1)/(2), 得 y^2 = x^2, k^2 = 4 ；由 (3) 得 z = 0，或 k = 1.

k = 1 時，代入(1)，(2) 得 x = 0，y = 0，代入(4)，得極值點p1(0, 0, 1), p2(0, 0, -1);

z = 0，y = ±x，代入 (4) ，得極值點 p3(1, -1, 0), p4(-1, 1, 0)；

比較知曲面 xy-z^2+1 = 0 上的點到原點距離的最小值是 1。

討論：其實，本題化為無條件極值更簡單明瞭。z^2 = xy+1

f(d) = d^2 = x^2+y^2+z^2 = x^2+y^2+xy+1

∂f/∂x = 2x+y, ∂f/∂y = 2y+x, 得唯一駐點 (0, 0)

a = ∂^2f/∂x^2 = 2, b = ∂^2f/∂x∂y = 1, c = ∂^2f/∂y^2 = 2,

b^2-ac = -3 < 0, a > 0, 則 (0, 0) 是極小值點，

此時 z^2 = 1, 則曲面上極小值即最小值點是 p1(0, 0, 1), p2(0, 0, -1)，

曲面 xy-z^2+1 = 0 上的點到原點距離的最小值是 1。

3樓：

設曲面上的點為(x,y,z)。∴到原點的距離d=√(x²+y²+z²)。

①構造拉格朗日乘數方程f(x,y,z;λ)=√(x²+y²+z²)+λ(xy-z²+1)。②求駐點m(x,y,z)。分別求f(x,y,z;λ)對x、y、z、λ的偏導數，並令其值為0，有∂f(x,y,z;λ)/∂x=x/d+λy=0③、∂f(x,y,z;λ)/∂y=y/d+λx=0④、∂f(x,y,z;λ)/∂z=z/d-2λz=0⑤、∂f(x,y,z;λ)/∂λ=xy-z²+1=0⑥。

由③、④得y=±x。由⑤得z=0。當y=x，z=0時，⑥無解，捨去。當y=-x，z=0時，解得x=±1。即駐點為(1,-1,0)，或者(-1,1,0)。

又，距離最小的點客觀存在，且兩駐點到原點的值相等，∴距離d的最小值mind=√2。

供參考。

高等數學問題 10

4樓：岑芳菲翰

這是一個線性微分方程,可以求出其解:

y=ce^x-x-1, 其中c是任意常數, 可見,滿足y'=x+y的函式不是唯一的.

根微分方程的求解過程,見下面.

高等數學，邊際與彈性基礎問題 100

5樓：匿名使用者

簡單點說邊際是線性模型當中,自變數(x)與應變數(y)也呈線性關係的模型裡面的自變數前係數(引數),解釋起來是x每增加(減少)一個單位,y平均增加(減少)係數值個單位.

彈性則是線性模型當中,對數模型裡面自變數ln(x)前係數(引數),解釋起來是x每增加(減少)1%,y平均增加(減少)係數值%.

具體邊際與彈性的公式就不給你寫了,上述回答是邊際與彈性在計量經濟學中的簡單解釋

高等數學基礎問題，高等數學基礎問題

高等數學定積分問題，高等數學定積分問題

高等數學函式，高等數學函式連續

高等數學求極值問題，高等數學，求質心的問題。

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