高中數學函式解題方法

時間 2021-08-30 09:17:13

1樓:

一.觀察法

通過對函式定義域、性質的觀察,結合函式的解析式,求得函式的值域。例1

求函式y=3+√(2-

3x)的值域。

點撥:根據算術平方根的性質,先求出√(2-

3x)的值域。

解:由算術平方根的性質,知√(2-3x)≥0,

故3+√(2-3x)≥3。

∴函式的知域為

. 點評:算術平方根具有雙重非負性,即:(

1)被開方數的非負性,(

2)值的

非負性。

本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解,

這種方法對於一類函式的值域的

求法,簡捷明瞭,不失為一種巧法。

練習:求函式

y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域為:{0,

1,2,

3,4,

5})二.反函式法

當函式的反函式存在時,則其反函式的定義域就是原函式的值域。例2

求函式y=(x+1)/(x+2)

的值域。

點撥:先求出原函式的反函式,再求出其定義域。

解:顯然函式

y=(x+1)/(x+2)

的反函式為

:x=(1

-2y)/(y

-1),

其定義域為

y≠1的實數

,故函式

y的值域為{y∣y≠1,y∈r}。

點評:利用反函式法求原函式的定義域的前提條件是原函式存在反函式。

這種方法體現逆向思維的思想,是數學解題的重要方法之一。

練習:求函式

y=(10x+10-x)/(10x

-10-x)

的值域。

(答案:

函式的值域為

{y∣y<-1

或y>1

})三.配方法

當所給函式是二次函式或可化為二次函式的複合函式時

,可以利用配方法求函

數值域例

3:求函式

y=√(-

x2+x+2)

的值域。

點撥:將被開方數配方成完全平方數,利用二次函式的最值求。

解:由-x2+x+2≥0,可知函式的定義域為

x∈[-1,

2]。此時-

x2+x+2=-(x

-1/2)2

+9/4∈[0,

9/4]

∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函式的值域是

[0,3/2]

點評:求函式的值域不但要重視對應關係的應用

,而且要特別注意定義域對值

域的制約作用。配方法是數學的一種重要的思想方法。

練習:求函式

y=2x-5

+√15-

4x的值域

.(答案

:值域為)

四.判別式法

若可化為關於某變數的二次方程的分式函式或無理函式

,可用判別式法求函式

的值域。例4

求函式y=(2x2

-2x+3)/(x2

-x+1)

的值域。

點撥:將原函式轉化為自變數的二次方程,

應用二次方程根的判別式,

從而確定出原函式的值域。

解:將上式化為(y-

2)x2-

(y-2)x+(y-3)=0

(*)當

y≠2時,由

δ=(y

-2)2-4

(y-2

)x+(y

-3)≥0,解得:

2<x≤10/3

當y=2時,

方程(*)

無解。∴函式的值域為

2<y≤10/3。

點評:把函式關係化為二次方程

f(x,y)=0

,由於方程有實數解,故其判別式

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語文 數學 英語 物理 化學

為非負數,可求得函式的值域。常適應於形如

y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)

及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函式。

練習:求函式

y=1/(2x2

-3x+1)

的值域。(答案:值域為

y≤-8

或y>0

)。五.最值法

對於閉區間

[a,b]

上的連續函式

y=f(x),

可求出y=f(x)

在區間[a,b]

內的極值

,並與邊界值

f(a).f(b)

作比較,

求出函式的最值

,可得到函式

y的值域。例5

已知(2x2-x-

3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足

x+y=1,

求函式z=xy+3x

的值域。

點撥:根據已知條件求出自變數

x的取值範圍,將目標函式消元、配方,可求

出函式的值域。

解:∵3x2+x+1>

0,上述分式不等式與不等式

2x2-x-

3≤0同解,解之得-

1≤x≤3/2,又

x+y=1

,將y=1-x

代入z=xy+3x

中,得z=-x2+4x(-

1≤x≤3/2),

∴z=-(x-2)2+4

且x∈[

-1,3/2],函式z

在區間[-1,3/2]

上連續,

故只需比較邊

界的大小。

當x=-1

時,z=-5

;當x=3/2

時,z=15/4

。∴函式

z的值域為{z∣-5≤z≤15/4}。

點評:本題是將函式的值域問題轉化為函式的最值。對開區間,若存在最值,

也可通過求出最值而獲得函式的值域。

練習:若√x

為實數,則函式

y=x2+3x-5

的值域為()

a.(-∞,+∞)b.

[-7,+∞]c.

[0,+∞)d.

[-5,+∞)

(答案:d)。

六.圖象法

通過觀察函式的圖象,運用數形結合的方法得到函式的值域。例6

求函式y=∣x+1∣+√(x

-2)2

的值域。

點撥:根據絕對值的意義,去掉符號後轉化為分段函式,作出其圖象。

解:原函式化為

-2x+1

(x≤1)

y= 3 (-

12)它的圖象如圖所示。

顯然函式值

y≥3,所以,函式值域

[3,+∞]。

點評:分段函式應注意函式的端點。利用函式的圖象

求函式的值域,體現數形結合的思想。是解決問題的重要方法。

求函式值域的方法較多,

還適應通過不等式法、

函式的單調性、

換元法等方法

求函式的值域。

七.單調法

利用函式在給定的區間上的單調遞增或單調遞減求值域。例1

求函式y=4x

-√1-

3x(x≤1/3)的值域。

點撥:由已知的函式是複合函式,即

g(x)=

-√1-3x,y=f(x)+g(x)

,其定義

域為x≤1/3,在此區間內分別討論函式的增減性,從而確定函式的值域。

解:設f(x)=4x,g(x)=

-√1-

3x ,(x≤1/3),易知它們在定義域內為增函式,

從而y=f(x)+g(x)= 4x

-√1-3x

在定義域為

x≤1/3

上也為增函式,而且

y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的

函式值域為{y|y≤4/3}。

點評:利用單調性求函式的值域,

是在函式給定的區間上,

或求出函式隱含的

區間,結合函式的增減性,

求出其函式在區間端點的函式值,

進而可確定函式的

值域。練習:求函式

y=3+√4

-x的值域。

(答案:{y|y≥3}

) 八.換元法

以新變數代替函式式中的某些量,使函式轉化為以新變數為自變數的函式形

式,進而求出值域。例2

求函式y=x-

3+√2x+1 的值域。

點撥:通過換元將原函式轉化為某個變數的二次函式,利用二次函式的最值,

確定原函式的值域。

解:設t=√2x+1 (t≥0),則

x=1/2(t2-1)。於是

y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-

4≥1/2

-4=-7/2.

所以,原函式的值域為{y|y≥-

7/2}。

點評:將無理函式或二次型的函式轉化為二次函式,

通過求出二次函式的最值,

從而確定出原函式的值域。

這種解題的方法體現換元、

化歸的思想方法。

它的應用十分廣泛。

練習:求函式

y=√x

-1 –

x的值域。(答案:{y|y≤-

3/4}

九.構造法

根據函式的結構特徵,賦予幾何圖形,數形結合。例3

求函式y=√x2+4x+5+√x2

-4x+8

的值域。

點撥:將原函式變形,構造平面圖形,由幾何知識,確定出函式的值域。

解:原函式變形為

f(x)=√(x+2)2+1+√(2

-x)2+22

作一個長為

4、寬為

3的矩形

abcd

,再切割成

12個單位

正方形。設

hk=x,

則ek=2-

x,kf=2+x,ak=√(

2-x)2+22 ,

kc=√(x+2)2+1 。

由三角形三邊關係知,ak+kc≥ac=5。當a、

k、c三點共

線時取等號。

∴原函式的知域為{y|y≥5}。

點評:對於形如函式

y=√x2+a ±√(c

-x)2+b(a,b,c

均為正數

),均可通過構

造幾何圖形,由幾何的性質,直觀明瞭、方便簡捷。這是數形結合思想的體現。

練習:求函式

y=√x2+9 +√(5

-x)2+4

的值域。(答案:{y|y≥5√2})

十.比例法

對於一類含條件的函式的值域的求法,

可將條件轉化為比例式,

代入目標函式,

進而求出原函式的值域。例4

已知x,y∈r,且

3x-4y-5=0,

求函式z=x2+y2

的值域。

點撥:將條件方程

3x-4y-5=0

轉化為比例式,設定引數,代入原函式。

解:由3x-4y-5=0

變形得,

(x3)/4=(y-1)/3=k(k

為引數)

∴x=3+4k,y=1+3k,

∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。當k=

-3/5

時,x=3/5,y=

-4/5

時,zmin=1

。函式的值域為{z|z≥1}

. 點評:本題是多元函式關係,一般含有約束條件,將條件轉化為比例式,通過

設引數,

可將原函式轉化為單函式的形式,

這種解題方法體現諸多思想方法,

具有一定的創新意識。

練習:已知

x,y∈r,且滿足

4x-y=0,

求函式f(x,y)=2x2-y

的值域。(答案:

{f(x,y)|f(x,y)≥1})

十一.利用多項式的除法例5

求函式y=(3x+2)/(x+1)

的值域。

點撥:將原分式函式,利用長除法轉化為一個整式與一個分式之和。

解:y=(3x+2)/(x+1)=3

-1/(x+1)

。∵1/(x+1)≠0,故

y≠3。

∴函式y

的值域為

y≠3的一切實數。

點評:對於形如

y=(ax+b)/(cx+d)

的形式的函式均可利用這種方法。

練習:求函式

y=(x2-1)/(x-

1)(x≠1)的值域。(答案:y≠2)

十二.不等式法例6

求函式y=3x/(3x+1)

的值域。

點撥:先求出原函式的反函式,根據自變數的取值範圍,構造不等式。

解:易求得原函式的反函式為

y=log3[x/(1-x)],

由對數函式的定義知

x/(1-x)>0

1-x≠0

解得,0

<x<1

。∴函式的值域(0,

1)。點評:考查函式自變數的取值範圍構造不等式(組)或構造重要不等式,求出

函式定義域,進而求值域。不等式法是重要的解題工具,它的應用非常廣泛。是

數學解題的方法之一。

以下供練習選用:求下列函式的值域

1.y=√(15-

4x)+2x-5

;({y|y≤3})2.

y=2x/(2x-1)

。(y>1或y<0

)注意變數哦

高中數學解題技巧與方法,怎樣解題高中數學解題方法與技巧

自由染奇 提取碼 12i6若資源有問題歡迎追問 有振賈覓露 選擇題對選擇題的審題,主要應清楚 是單選還是多選,是選擇正確還是選擇錯誤?答案寫在什麼地方,等等。做選擇題有四種基本方法 1回憶法。直接從記憶中取要選擇的內容。2直接解答法。多用在數理科的試題中,根據已知條件,通過計算 作圖或代入選擇依次進...

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這種函式畫圖,找出幾個點,畫出簡圖就可以惹 後面幾張圖實在打不開了,不好意思。新年快樂吧 善言而不辯 f x 2 x 1 x 0 分段 f x 2 1 x 0 x 1 f x 2 x 1 x 1 f x ln2 2 1 x 1 x ln2 2 1 x 0 單調遞減 f x ln2 2 1 x x 1...